Your data matches 106 different statistics following compositions of up to 3 maps.
(click to perform a complete search on your data)
St000118: Binary trees ⟶ ℤResult quality: 100% values known / values provided: 100%distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,.]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],.]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> 2 = 3 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> 0 = 1 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> 3 = 4 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> 2 = 3 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> 2 = 3 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> 1 = 2 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> 2 = 3 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> 2 = 3 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> 0 = 1 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> 0 = 1 - 1
Description
The number of occurrences of the contiguous pattern {{{[.,[.,[.,.]]]}}} in a binary tree. [[oeis:A001006]] counts binary trees avoiding this pattern.
Mp00020: Binary trees to Tamari-corresponding Dyck pathDyck paths
St001066: Dyck paths ⟶ ℤResult quality: 100% values known / values provided: 100%distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,.]
=> [1,0]
=> 1
[.,[.,.]]
=> [1,1,0,0]
=> 1
[[.,.],.]
=> [1,0,1,0]
=> 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,.],.]]
=> [1,1,0,1,0,0]
=> 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,0,1,1,0,0]
=> 1
[[.,[.,.]],.]
=> [1,1,0,0,1,0]
=> 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,0,1,0,1,0]
=> 2
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [1,1,1,0,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [1,1,0,1,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [1,1,1,0,0,1,0,0]
=> 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [1,1,0,1,0,1,0,0]
=> 2
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,0,1,1,0,1,0,0]
=> 2
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [1,1,0,1,0,0,1,0]
=> 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 2
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0]
=> 3
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [1,1,1,1,1,0,0,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [1,1,1,1,0,1,0,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [1,1,1,0,1,1,0,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [1,1,1,1,0,0,1,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [1,1,1,0,1,0,1,0,0,0]
=> 2
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [1,1,0,1,1,1,0,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [1,1,0,1,1,0,1,0,0,0]
=> 2
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,1,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [1,1,0,1,0,1,1,0,0,0]
=> 2
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,1,0,0]
=> 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [1,1,1,0,1,0,0,1,0,0]
=> 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [1,1,0,1,1,0,0,1,0,0]
=> 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [1,1,1,0,0,1,0,1,0,0]
=> 2
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [1,1,0,1,0,1,0,1,0,0]
=> 3
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,0,1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,1,1,0,1,0,0,0]
=> 2
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,0,1,1,0,0,0]
=> 2
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,1,0,0]
=> 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,0,1,1,0,1,0,1,0,0]
=> 3
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,1,0,0]
=> 2
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,0,1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 2
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,1,0,0]
=> 3
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [1,1,0,1,0,0,1,1,0,0]
=> 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> 2
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,0,1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 3
Description
The number of simple reflexive modules in the corresponding Nakayama algebra.
Mp00020: Binary trees to Tamari-corresponding Dyck pathDyck paths
St001483: Dyck paths ⟶ ℤResult quality: 100% values known / values provided: 100%distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,.]
=> [1,0]
=> 1
[.,[.,.]]
=> [1,1,0,0]
=> 1
[[.,.],.]
=> [1,0,1,0]
=> 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,.],.]]
=> [1,1,0,1,0,0]
=> 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,0,1,1,0,0]
=> 1
[[.,[.,.]],.]
=> [1,1,0,0,1,0]
=> 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,0,1,0,1,0]
=> 2
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [1,1,1,0,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [1,1,0,1,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [1,1,1,0,0,1,0,0]
=> 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [1,1,0,1,0,1,0,0]
=> 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,0,1,1,0,1,0,0]
=> 2
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [1,1,0,1,0,0,1,0]
=> 2
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 2
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0]
=> 3
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [1,1,1,1,1,0,0,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [1,1,1,1,0,1,0,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [1,1,1,0,1,1,0,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [1,1,1,1,0,0,1,0,0,0]
=> 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [1,1,1,0,1,0,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [1,1,0,1,1,1,0,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [1,1,0,1,1,0,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,1,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [1,1,0,1,0,1,1,0,0,0]
=> 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,1,0,0]
=> 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [1,1,1,0,1,0,0,1,0,0]
=> 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [1,1,0,1,1,0,0,1,0,0]
=> 2
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [1,1,1,0,0,1,0,1,0,0]
=> 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [1,1,0,1,0,1,0,1,0,0]
=> 2
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,0,1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,1,1,0,1,0,0,0]
=> 2
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,0,1,1,0,0,0]
=> 2
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,1,0,0]
=> 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,0,1,1,0,1,0,1,0,0]
=> 2
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,1,0,0]
=> 2
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,0,1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 2
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,1,0,0]
=> 3
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [1,1,0,1,0,0,1,1,0,0]
=> 2
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> 2
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,0,1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 3
Description
The number of simple module modules that appear in the socle of the regular module but have no nontrivial selfextensions with the regular module.
Mp00012: Binary trees to Dyck path: up step, left tree, down step, right treeDyck paths
Mp00199: Dyck paths prime Dyck pathDyck paths
Mp00142: Dyck paths promotionDyck paths
St000931: Dyck paths ⟶ ℤResult quality: 100% values known / values provided: 100%distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,.]
=> [1,0]
=> [1,1,0,0]
=> [1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,.]]
=> [1,0,1,0]
=> [1,1,0,1,0,0]
=> [1,0,1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> [1,1,0,0]
=> [1,1,1,0,0,0]
=> [1,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [1,0,1,0,1,0]
=> [1,1,0,1,0,1,0,0]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> [1,0,1,1,0,0]
=> [1,1,0,1,1,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,1,0,0,1,0]
=> [1,1,1,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> [1,1,0,1,0,0]
=> [1,1,1,0,1,0,0,0]
=> [1,0,1,1,0,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,1,1,0,0,0]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0]
=> [1,1,0,1,0,1,0,1,0,0]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0]
=> [1,1,0,1,0,1,1,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0]
=> [1,1,0,1,1,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [1,0,1,1,0,1,0,0]
=> [1,1,0,1,1,0,1,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,0,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0]
=> [1,1,0,1,1,1,0,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0]
=> [1,1,1,0,0,1,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0]
=> [1,1,1,0,0,1,1,0,0,0]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [1,1,0,1,0,0,1,0]
=> [1,1,1,0,1,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,0,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0]
=> [1,1,1,1,0,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [1,1,0,1,0,1,0,0]
=> [1,1,1,0,1,0,1,0,0,0]
=> [1,0,1,1,0,1,0,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [1,1,0,1,1,0,0,0]
=> [1,1,1,0,1,1,0,0,0,0]
=> [1,0,1,1,0,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,1,1,0,0,1,0,0]
=> [1,1,1,1,0,0,1,0,0,0]
=> [1,0,1,1,1,0,0,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [1,1,1,0,1,0,0,0]
=> [1,1,1,1,0,1,0,0,0,0]
=> [1,0,1,1,1,0,1,0,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0]
=> [1,1,1,1,1,0,0,0,0,0]
=> [1,0,1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 2 = 3 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0,1,0]
=> [1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [1,0,1,0,1,0,1,1,0,0]
=> [1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0,1,0]
=> [1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,1,0,0]
=> [1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [1,0,1,0,1,1,1,0,0,0]
=> [1,1,0,1,0,1,1,1,0,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0,1,0]
=> [1,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,0]
=> [1,1,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,0,1,0,0,1,0]
=> [1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0,1,0]
=> [1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [1,0,1,1,0,1,0,1,0,0]
=> [1,1,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [1,0,1,1,0,1,1,0,0,0]
=> [1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,1,0,0]
=> [1,1,0,1,1,1,0,0,1,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,1,0,0,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [1,0,1,1,1,0,1,0,0,0]
=> [1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [1,0,1,1,1,1,0,0,0,0]
=> [1,1,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0]
=> [1,0,1,0,1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 2 = 3 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0,1,0]
=> [1,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> [1,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
=> [1,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,1,0,0]
=> [1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,0]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,1,0,0,0]
=> [1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,0,0]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,1,0,0,1,0,1,0]
=> [1,1,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [1,1,0,1,0,0,1,1,0,0]
=> [1,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0]
=> [1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0,1,0]
=> [1,1,1,1,0,0,0,1,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> [1,1,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [1,1,0,1,0,1,0,0,1,0]
=> [1,1,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,0,1,0,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [1,1,0,1,1,0,0,0,1,0]
=> [1,1,1,0,1,1,0,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,1,0,0,1,0]
=> [1,1,1,1,0,0,1,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,1,0,0,1,0,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [1,1,1,0,1,0,0,0,1,0]
=> [1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0,1,0]
=> [1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,0,0]
=> [1,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,0]
=> 2 = 3 - 1
Description
The number of occurrences of the pattern UUU in a Dyck path. The number of Dyck paths with statistic value 0 are counted by the Motzkin numbers [1].
Mp00017: Binary trees to 312-avoiding permutationPermutations
Mp00072: Permutations binary search tree: left to rightBinary trees
Mp00012: Binary trees to Dyck path: up step, left tree, down step, right treeDyck paths
St001167: Dyck paths ⟶ ℤResult quality: 100% values known / values provided: 100%distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,.]
=> [1] => [.,.]
=> [1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [[.,.],.]
=> [1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => [.,[.,.]]
=> [1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [[[.,.],.],.]
=> [1,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [[.,.],[.,.]]
=> [1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => [.,[[.,.],.]]
=> [1,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [[.,.],[.,.]]
=> [1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [.,[.,[.,.]]]
=> [1,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [[[[.,.],.],.],.]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => [[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => [.,[[[.,.],.],.]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => [.,[[.,.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => [[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => [.,[.,[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => [.,[[.,.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0]
=> 2 = 3 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [[[[[.,.],.],.],.],.]
=> [1,1,1,1,1,0,0,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => [[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => [[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => [[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => [[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => [[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => [[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0,1,0]
=> 2 = 3 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => [.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [1,0,1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => [.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => [.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => [.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => [.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => [[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => [[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => [.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [1,0,1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => [.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => [[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => [[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => [.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => [[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => [.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [1,0,1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 2 = 3 - 1
Description
The number of simple modules that appear as the top of an indecomposable non-projective modules that is reflexive in the corresponding Nakayama algebra. The top of a module is the cokernel of the inclusion of the radical of the module into the module. For Nakayama algebras with at most 8 simple modules, the statistic also coincides with the number of simple modules with projective dimension at least 3 in the corresponding Nakayama algebra.
Mp00017: Binary trees to 312-avoiding permutationPermutations
Mp00072: Permutations binary search tree: left to rightBinary trees
Mp00012: Binary trees to Dyck path: up step, left tree, down step, right treeDyck paths
St001253: Dyck paths ⟶ ℤResult quality: 100% values known / values provided: 100%distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,.]
=> [1] => [.,.]
=> [1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [[.,.],.]
=> [1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => [.,[.,.]]
=> [1,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [[[.,.],.],.]
=> [1,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [[.,.],[.,.]]
=> [1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => [.,[[.,.],.]]
=> [1,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [[.,.],[.,.]]
=> [1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [.,[.,[.,.]]]
=> [1,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [[[[.,.],.],.],.]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => [[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => [.,[[[.,.],.],.]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => [.,[[.,.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => [[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => [.,[.,[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => [.,[[.,.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,0,1,0,1,0,1,0]
=> 2 = 3 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [[[[[.,.],.],.],.],.]
=> [1,1,1,1,1,0,0,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => [[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => [[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => [[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => [[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => [[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,1,1,1,0,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => [[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,0,1,0]
=> 2 = 3 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => [.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [1,0,1,1,1,1,0,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => [.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => [.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => [.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [1,0,1,1,1,0,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => [.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => [[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,1,0,0,1,1,1,0,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => [[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,1,0,0,1,1,0,0,1,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => [.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [1,0,1,0,1,1,1,0,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => [.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [1,0,1,0,1,1,0,0,1,0]
=> 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => [[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,1,1,0,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => [[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => [.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [1,0,1,1,0,0,1,1,0,0]
=> 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => [[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,1,0,0,1,0,1,1,0,0]
=> 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => [.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [1,0,1,0,1,0,1,1,0,0]
=> 2 = 3 - 1
Description
The number of non-projective indecomposable reflexive modules in the corresponding Nakayama algebra. For the first 196 values the statistic coincides also with the number of fixed points of $\tau \Omega^2$ composed with its inverse, see theorem 5.8. in the reference for more details. The number of Dyck paths of length n where the statistics returns zero seems to be 2^(n-1).
Matching statistic: St001389
Mp00014: Binary trees to 132-avoiding permutationPermutations
Mp00108: Permutations cycle typeInteger partitions
Mp00202: Integer partitions first row removalInteger partitions
St001389: Integer partitions ⟶ ℤResult quality: 50% values known / values provided: 82%distinct values known / distinct values provided: 50%
Values
[.,.]
=> [1] => [1]
=> []
=> ? = 1
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [2]
=> []
=> ? = 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => [1,1]
=> [1]
=> 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [2,1]
=> [1]
=> 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [3]
=> []
=> ? ∊ {1,2}
[[.,.],[.,.]]
=> [3,1,2] => [3]
=> []
=> ? ∊ {1,2}
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [2,1]
=> [1]
=> 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [1,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [2,2]
=> [2]
=> 2
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [4]
=> []
=> ? ∊ {1,2,2,3}
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [4,2,3,1] => [2,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [3,1]
=> [1]
=> 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [4]
=> []
=> ? ∊ {1,2,2,3}
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [4,3,1,2] => [4]
=> []
=> ? ∊ {1,2,2,3}
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [3,4,1,2] => [2,2]
=> [2]
=> 2
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [4,2,1,3] => [3,1]
=> [1]
=> 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [4,1,2,3] => [4]
=> []
=> ? ∊ {1,2,2,3}
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [2,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [3,1]
=> [1]
=> 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [3,1,2,4] => [3,1]
=> [1]
=> 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [2,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [1,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 2
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [4,1]
=> [1]
=> 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [5,3,4,2,1] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [5,4,2,3,1] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [4,5,2,3,1] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [5,3,2,4,1] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 2
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [5,2,3,4,1] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [4,2,3,5,1] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [4,1]
=> [1]
=> 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [5,4,3,1,2] => [4,1]
=> [1]
=> 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [4,5,3,1,2] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 2
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [5,3,4,1,2] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [4,3,5,1,2] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [3,4,5,1,2] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [5,4,2,1,3] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [4,5,2,1,3] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [5,4,1,2,3] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [4,5,1,2,3] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [5,3,2,1,4] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [5,2,3,1,4] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [5,3,1,2,4] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [5,2,1,3,4] => [4,1]
=> [1]
=> 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [5,1,2,3,4] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,2,2,3,3,3,3,3,4}
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 2
[[.,[.,[[.,.],.]]],.]
=> [3,4,2,1,5] => [4,1]
=> [1]
=> 1
[[.,[[.,.],[.,.]]],.]
=> [4,2,3,1,5] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 1
[[.,[[.,[.,.]],.]],.]
=> [3,2,4,1,5] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,[[[.,.],.],.]],.]
=> [2,3,4,1,5] => [4,1]
=> [1]
=> 1
[[[.,.],[.,[.,.]]],.]
=> [4,3,1,2,5] => [4,1]
=> [1]
=> 1
[[[.,.],[[.,.],.]],.]
=> [3,4,1,2,5] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 2
[[[.,[.,.]],[.,.]],.]
=> [4,2,1,3,5] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[[[.,.],.],[.,.]],.]
=> [4,1,2,3,5] => [4,1]
=> [1]
=> 1
[[[.,[.,[.,.]]],.],.]
=> [3,2,1,4,5] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 1
[[[.,[[.,.],.]],.],.]
=> [2,3,1,4,5] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[[[.,.],[.,.]],.],.]
=> [3,1,2,4,5] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[[[.,[.,.]],.],.],.]
=> [2,1,3,4,5] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 1
[[[[[.,.],.],.],.],.]
=> [1,2,3,4,5] => [1,1,1,1,1]
=> [1,1,1,1]
=> 1
[.,[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [6,5,4,3,2,1] => [2,2,2]
=> [2,2]
=> 3
[.,[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]]
=> [5,6,4,3,2,1] => [4,2]
=> [2]
=> 2
[.,[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]]
=> [6,4,5,3,2,1] => [4,2]
=> [2]
=> 2
[.,[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]]
=> [5,4,6,3,2,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[.,[.,[[[.,.],.],.]]]]
=> [4,5,6,3,2,1] => [4,2]
=> [2]
=> 2
[.,[.,[[[.,.],[.,.]],.]]]
=> [5,3,4,6,2,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[.,[[[[.,.],.],.],.]]]
=> [3,4,5,6,2,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,.],[.,[[.,.],.]]]]
=> [5,6,4,2,3,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,.],[[[.,.],.],.]]]
=> [4,5,6,2,3,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[.,.],.],[[.,.],.]]]
=> [5,6,2,3,4,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,[[.,[.,.]],.]],.]]
=> [4,3,5,2,6,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[.,.],[[.,.],.]],.]]
=> [4,5,2,3,6,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[.,[[.,.],.]],.],.]]
=> [3,4,2,5,6,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[[[.,.],.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,6,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[.,.],[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [6,4,5,3,1,2] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[.,.],[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [4,5,6,3,1,2] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[.,.],[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [6,3,4,5,1,2] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[.,.],[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [4,3,5,6,1,2] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[.,[.,.]],[.,[.,[.,.]]]]
=> [6,5,4,2,1,3] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[[.,.],.],[.,[[.,.],.]]]
=> [5,6,4,1,2,3] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[[.,.],.],[[.,.],[.,.]]]
=> [6,4,5,1,2,3] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[.,[[.,.],.]],[.,[.,.]]]
=> [6,5,2,3,1,4] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[[.,[.,.]],.],[[.,.],.]]
=> [5,6,2,1,3,4] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[[[.,.],.],.],[.,[.,.]]]
=> [6,5,1,2,3,4] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[[.,.],[[.,.],.]],[.,.]]
=> [6,3,4,1,2,5] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[[.,[.,.]],[.,.]],[.,.]]
=> [6,4,2,1,3,5] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[[[.,.],[.,.]],.],[.,.]]
=> [6,3,1,2,4,5] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[[[[[.,.],.],.],.],[.,.]]
=> [6,1,2,3,4,5] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5}
[.,[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]]]
=> [6,5,4,7,3,2,1] => [7]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6}
[.,[.,[.,[[[.,[.,.]],.],.]]]]
=> [5,4,6,7,3,2,1] => [7]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6}
[.,[.,[[.,.],[[.,[.,.]],.]]]]
=> [6,5,7,3,4,2,1] => [7]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6}
[.,[.,[[.,[[.,.],[.,.]]],.]]]
=> [6,4,5,3,7,2,1] => [7]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6}
[.,[.,[[.,[[[.,.],.],.]],.]]]
=> [4,5,6,3,7,2,1] => [7]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6}
[.,[.,[[[[.,.],.],[.,.]],.]]]
=> [6,3,4,5,7,2,1] => [7]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6}
[.,[.,[[[[.,[.,.]],.],.],.]]]
=> [4,3,5,6,7,2,1] => [7]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6}
[.,[[.,.],[[.,.],[[.,.],.]]]]
=> [6,7,4,5,2,3,1] => [7]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6}
Description
The number of partitions of the same length below the given integer partition. For a partition $\lambda_1 \geq \dots \lambda_k > 0$, this number is $$ \det\left( \binom{\lambda_{k+1-i}}{j-i+1} \right)_{1 \le i,j \le k}.$$
Mp00017: Binary trees to 312-avoiding permutationPermutations
Mp00254: Permutations Inverse fireworks mapPermutations
St000366: Permutations ⟶ ℤResult quality: 78% values known / values provided: 78%distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,.]
=> [1] => [1] => 0 = 1 - 1
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [2,1] => 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [3,2,1] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [1,3,2] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => [1,3,2] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [2,1,3] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [4,3,2,1] => 2 = 3 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [2,1,4,3] => 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [1,2,4,3] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => [1,2,4,3] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => [2,1,4,3] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => [1,2,4,3] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [3,2,1,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [1,3,2,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => [1,3,2,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [2,1,3,4] => 0 = 1 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [5,4,3,2,1] => 3 = 4 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [2,1,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => [2,1,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [3,2,1,5,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [2,1,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [1,2,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => [1,2,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => [2,1,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => [2,1,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => [1,2,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => [3,2,1,5,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => [2,1,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => [1,2,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]]]
=> [6,5,4,7,3,2,1] => [3,2,1,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[[.,[.,.]],.],.]]]]
=> [5,4,6,7,3,2,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],[[.,.],.]]]]
=> [4,3,6,7,5,2,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]]]
=> [5,4,3,7,6,2,1] => [3,2,1,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[.,.]],.],[.,.]]]]
=> [4,3,5,7,6,2,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]]]
=> [6,5,4,3,7,2,1] => [4,3,2,1,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[[.,[.,.]],.]],.]]]
=> [5,4,6,3,7,2,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[.,.]],[.,.]],.]]]
=> [4,3,6,5,7,2,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[.,[.,.]]],.],.]]]
=> [5,4,3,6,7,2,1] => [3,2,1,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[[.,[.,.]],.],.],.]]]
=> [4,3,5,6,7,2,1] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,[[.,.],.]]]]
=> [3,2,6,7,5,4,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,2,5,7,6,4,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[[.,[.,.]],.]]]
=> [3,2,6,5,7,4,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[[[.,.],.],.]]]
=> [3,2,5,6,7,4,1] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,7,6,5,1] => [3,2,1,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],[[.,.],.]]]
=> [4,3,2,6,7,5,1] => [3,2,1,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],[.,[.,.]]]]
=> [3,2,4,7,6,5,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],[[.,.],.]]]
=> [3,2,4,6,7,5,1] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,[.,.]]]],[.,.]]]
=> [5,4,3,2,7,6,1] => [4,3,2,1,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[.,[.,.]],.]],[.,.]]]
=> [4,3,5,2,7,6,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,7,6,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,[.,.]]],.],[.,.]]]
=> [4,3,2,5,7,6,1] => [3,2,1,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[.,[.,.]],.],.],[.,.]]]
=> [3,2,4,5,7,6,1] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,[[.,.],.]]]],.]]
=> [5,6,4,3,2,7,1] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[[.,.],[.,.]]]],.]]
=> [4,6,5,3,2,7,1] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[[.,[.,.]],.]]],.]]
=> [5,4,6,3,2,7,1] => [2,1,5,4,3,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[.,.],[.,[.,.]]]],.]]
=> [3,6,5,4,2,7,1] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[.,[.,.]],[.,.]]],.]]
=> [4,3,6,5,2,7,1] => [2,1,5,4,3,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[.,[.,[.,.]]],.]],.]]
=> [5,4,3,6,2,7,1] => [3,2,1,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[[.,[.,.]],.],.]],.]]
=> [4,3,5,6,2,7,1] => [2,1,3,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,.],[.,[.,[.,.]]]],.]]
=> [2,6,5,4,3,7,1] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],[.,[.,.]]],.]]
=> [3,2,6,5,4,7,1] => [2,1,5,4,3,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],[[.,.],.]],.]]
=> [3,2,5,6,4,7,1] => [2,1,3,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,[.,.]]],[.,.]],.]]
=> [4,3,2,6,5,7,1] => [3,2,1,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[.,[.,.]],.],[.,.]],.]]
=> [3,2,4,6,5,7,1] => [2,1,3,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,[.,[.,.]]]],.],.]]
=> [5,4,3,2,6,7,1] => [4,3,2,1,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[[.,[.,.]],.]],.],.]]
=> [4,3,5,2,6,7,1] => [2,1,4,3,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[.,[.,.]],[.,.]],.],.]]
=> [3,2,5,4,6,7,1] => [2,1,4,3,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[.,[.,[.,.]]],.],.],.]]
=> [4,3,2,5,6,7,1] => [3,2,1,4,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[[.,[.,.]],.],.],.],.]]
=> [3,2,4,5,6,7,1] => [2,1,3,4,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]]
=> [1,6,5,4,3,7,2] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [2,1,6,7,5,4,3] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [2,1,5,7,6,4,3] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [2,1,6,5,7,4,3] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [2,1,5,6,7,4,3] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,1,4,7,6,5,3] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,1,4,6,7,5,3] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [2,1,5,4,7,6,3] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,1,4,5,7,6,3] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [2,1,6,5,4,7,3] => [2,1,5,4,3,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
Description
The number of double descents of a permutation. A double descent of a permutation $\pi$ is a position $i$ such that $\pi(i) > \pi(i+1) > \pi(i+2)$.
Mp00017: Binary trees to 312-avoiding permutationPermutations
Mp00254: Permutations Inverse fireworks mapPermutations
St000371: Permutations ⟶ ℤResult quality: 78% values known / values provided: 78%distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,.]
=> [1] => [1] => 0 = 1 - 1
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [2,1] => 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [3,2,1] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [1,3,2] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => [1,3,2] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [2,1,3] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [4,3,2,1] => 2 = 3 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [2,1,4,3] => 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [1,2,4,3] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => [1,2,4,3] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => [2,1,4,3] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => [1,2,4,3] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [3,2,1,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [1,3,2,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => [1,3,2,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [2,1,3,4] => 0 = 1 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [5,4,3,2,1] => 3 = 4 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [2,1,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => [2,1,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [3,2,1,5,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [2,1,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [1,2,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => [1,2,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => [2,1,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => [2,1,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => [1,2,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => [3,2,1,5,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => [1,3,2,5,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => [2,1,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => [1,2,3,5,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]]]
=> [6,5,4,7,3,2,1] => [3,2,1,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[[.,[.,.]],.],.]]]]
=> [5,4,6,7,3,2,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],[[.,.],.]]]]
=> [4,3,6,7,5,2,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]]]
=> [5,4,3,7,6,2,1] => [3,2,1,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[.,.]],.],[.,.]]]]
=> [4,3,5,7,6,2,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]]]
=> [6,5,4,3,7,2,1] => [4,3,2,1,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[[.,[.,.]],.]],.]]]
=> [5,4,6,3,7,2,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[.,.]],[.,.]],.]]]
=> [4,3,6,5,7,2,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[.,[.,.]]],.],.]]]
=> [5,4,3,6,7,2,1] => [3,2,1,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[[.,[.,.]],.],.],.]]]
=> [4,3,5,6,7,2,1] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,[[.,.],.]]]]
=> [3,2,6,7,5,4,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,2,5,7,6,4,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[[.,[.,.]],.]]]
=> [3,2,6,5,7,4,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[[[.,.],.],.]]]
=> [3,2,5,6,7,4,1] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,7,6,5,1] => [3,2,1,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],[[.,.],.]]]
=> [4,3,2,6,7,5,1] => [3,2,1,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],[.,[.,.]]]]
=> [3,2,4,7,6,5,1] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],[[.,.],.]]]
=> [3,2,4,6,7,5,1] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,[.,.]]]],[.,.]]]
=> [5,4,3,2,7,6,1] => [4,3,2,1,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[.,[.,.]],.]],[.,.]]]
=> [4,3,5,2,7,6,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,7,6,1] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,[.,.]]],.],[.,.]]]
=> [4,3,2,5,7,6,1] => [3,2,1,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[.,[.,.]],.],.],[.,.]]]
=> [3,2,4,5,7,6,1] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,[[.,.],.]]]],.]]
=> [5,6,4,3,2,7,1] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[[.,.],[.,.]]]],.]]
=> [4,6,5,3,2,7,1] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[[.,[.,.]],.]]],.]]
=> [5,4,6,3,2,7,1] => [2,1,5,4,3,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[.,.],[.,[.,.]]]],.]]
=> [3,6,5,4,2,7,1] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[.,[.,.]],[.,.]]],.]]
=> [4,3,6,5,2,7,1] => [2,1,5,4,3,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[.,[.,[.,.]]],.]],.]]
=> [5,4,3,6,2,7,1] => [3,2,1,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[[[.,[.,.]],.],.]],.]]
=> [4,3,5,6,2,7,1] => [2,1,3,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,.],[.,[.,[.,.]]]],.]]
=> [2,6,5,4,3,7,1] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],[.,[.,.]]],.]]
=> [3,2,6,5,4,7,1] => [2,1,5,4,3,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],[[.,.],.]],.]]
=> [3,2,5,6,4,7,1] => [2,1,3,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,[.,.]]],[.,.]],.]]
=> [4,3,2,6,5,7,1] => [3,2,1,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[.,[.,.]],.],[.,.]],.]]
=> [3,2,4,6,5,7,1] => [2,1,3,5,4,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,[.,[.,.]]]],.],.]]
=> [5,4,3,2,6,7,1] => [4,3,2,1,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[[.,[.,.]],.]],.],.]]
=> [4,3,5,2,6,7,1] => [2,1,4,3,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[.,[.,.]],[.,.]],.],.]]
=> [3,2,5,4,6,7,1] => [2,1,4,3,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[.,[.,[.,.]]],.],.],.]]
=> [4,3,2,5,6,7,1] => [3,2,1,4,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[[[.,[.,.]],.],.],.],.]]
=> [3,2,4,5,6,7,1] => [2,1,3,4,5,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]]
=> [1,6,5,4,3,7,2] => [1,5,4,3,2,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [2,1,6,7,5,4,3] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [2,1,5,7,6,4,3] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [2,1,6,5,7,4,3] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [2,1,5,6,7,4,3] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,1,4,7,6,5,3] => [2,1,3,7,6,5,4] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,1,4,6,7,5,3] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [2,1,5,4,7,6,3] => [2,1,4,3,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,1,4,5,7,6,3] => [2,1,3,4,7,6,5] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,[.,.]],[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [2,1,6,5,4,7,3] => [2,1,5,4,3,7,6] => ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
Description
The number of mid points of decreasing subsequences of length 3 in a permutation. For a permutation $\pi$ of $\{1,\ldots,n\}$, this is the number of indices $j$ such that there exist indices $i,k$ with $i < j < k$ and $\pi(i) > \pi(j) > \pi(k)$. In other words, this is the number of indices that are neither left-to-right maxima nor right-to-left minima. This statistic can also be expressed as the number of occurrences of the mesh pattern ([3,2,1], {(0,2),(0,3),(2,0),(3,0)}): the shading fixes the first and the last element of the decreasing subsequence. See also [[St000119]].
Mp00017: Binary trees to 312-avoiding permutationPermutations
Mp00108: Permutations cycle typeInteger partitions
Mp00202: Integer partitions first row removalInteger partitions
St000937: Integer partitions ⟶ ℤResult quality: 77% values known / values provided: 77%distinct values known / distinct values provided: 83%
Values
[.,.]
=> [1] => [1]
=> []
=> ? = 1
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [2]
=> []
=> ? ∊ {1,1}
[[.,.],.]
=> [1,2] => [1,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1}
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [2,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,2}
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [3]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,2}
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => [2,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,2}
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [2,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,2}
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [1,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [2,2]
=> [2]
=> 2
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [4]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,2,3}
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => [3,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,2,3}
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [3,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,2,3}
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [4]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,2,3}
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => [2,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => [3,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,2,3}
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => [2,2]
=> [2]
=> 2
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => [2,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [2,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [3,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,2,3}
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => [2,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [2,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [1,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 2
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [4,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => [4,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => [4,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [4,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [5]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => [4,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => [4,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 2
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => [3,2]
=> [2]
=> 2
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 2
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[[.,[.,[[.,.],.]]],.]
=> [3,4,2,1,5] => [4,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[[.,[[.,.],[.,.]]],.]
=> [2,4,3,1,5] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,[[.,[.,.]],.]],.]
=> [3,2,4,1,5] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[.,[[[.,.],.],.]],.]
=> [2,3,4,1,5] => [4,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4}
[[[.,.],[.,[.,.]]],.]
=> [1,4,3,2,5] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 2
[[[.,.],[[.,.],.]],.]
=> [1,3,4,2,5] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[[.,[.,.]],[.,.]],.]
=> [2,1,4,3,5] => [2,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[[[[.,.],.],[.,.]],.]
=> [1,2,4,3,5] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 2
[[[.,[.,[.,.]]],.],.]
=> [3,2,1,4,5] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 2
[[[.,[[.,.],.]],.],.]
=> [2,3,1,4,5] => [3,1,1]
=> [1,1]
=> 1
[[[[.,.],[.,.]],.],.]
=> [1,3,2,4,5] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 2
[[[[.,[.,.]],.],.],.]
=> [2,1,3,4,5] => [2,1,1,1]
=> [1,1,1]
=> 2
[[[[[.,.],.],.],.],.]
=> [1,2,3,4,5] => [1,1,1,1,1]
=> [1,1,1,1]
=> 3
[.,[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [6,5,4,3,2,1] => [2,2,2]
=> [2,2]
=> 2
[.,[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]]
=> [5,6,4,3,2,1] => [4,2]
=> [2]
=> 2
[.,[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]]
=> [4,6,5,3,2,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]]
=> [5,4,6,3,2,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[.,[.,[[[.,.],.],.]]]]
=> [4,5,6,3,2,1] => [4,2]
=> [2]
=> 2
[.,[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]]
=> [3,6,5,4,2,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[.,[[.,.],[[.,.],.]]]]
=> [3,5,6,4,2,1] => [3,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[.,[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]]
=> [4,3,6,5,2,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[.,[[[.,.],.],[.,.]]]]
=> [3,4,6,5,2,1] => [3,3]
=> [3]
=> 3
[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]]
=> [5,4,3,6,2,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[.,[[.,[[.,.],.]],.]]]
=> [4,5,3,6,2,1] => [3,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[.,[.,[[[.,.],[.,.]],.]]]
=> [3,5,4,6,2,1] => [4,2]
=> [2]
=> 2
[.,[.,[[[.,[.,.]],.],.]]]
=> [4,3,5,6,2,1] => [3,3]
=> [3]
=> 3
[.,[.,[[[[.,.],.],.],.]]]
=> [3,4,5,6,2,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]]
=> [2,6,5,4,3,1] => [3,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[.,[[.,.],[.,[[.,.],.]]]]
=> [2,5,6,4,3,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,.],[[.,.],[.,.]]]]
=> [2,4,6,5,3,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,.],[[.,[.,.]],.]]]
=> [2,5,4,6,3,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,.],[[[.,.],.],.]]]
=> [2,4,5,6,3,1] => [4,2]
=> [2]
=> 2
[.,[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]]
=> [3,2,6,5,4,1] => [3,2,1]
=> [2,1]
=> 1
[.,[[.,[.,.]],[[.,.],.]]]
=> [3,2,5,6,4,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[.,.],.],[.,[.,.]]]]
=> [2,3,6,5,4,1] => [4,2]
=> [2]
=> 2
[.,[[[.,.],.],[[.,.],.]]]
=> [2,3,5,6,4,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,[[.,.],.]],[.,.]]]
=> [3,4,2,6,5,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[[.,.],.],.],[.,.]]]
=> [2,3,4,6,5,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,[.,[[.,.],.]]],.]]
=> [4,5,3,2,6,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,[[.,.],[.,.]]],.]]
=> [3,5,4,2,6,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[.,[[.,[.,.]],.]],.]]
=> [4,3,5,2,6,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[.,.],[[.,.],.]],.]]
=> [2,4,5,3,6,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[[.,.],.],[.,.]],.]]
=> [2,3,5,4,6,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[.,[[.,.],.]],.],.]]
=> [3,4,2,5,6,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[[.,.],[.,.]],.],.]]
=> [2,4,3,5,6,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[[.,[.,.]],.],.],.]]
=> [3,2,4,5,6,1] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[.,[[[[[.,.],.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,6,1] => [6]
=> []
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[[.,.],[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [1,4,6,5,3,2] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
[[.,.],[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [1,5,4,6,3,2] => [5,1]
=> [1]
=> ? ∊ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5}
Description
The number of positive values of the symmetric group character corresponding to the partition. For example, the character values of the irreducible representation $S^{(2,2)}$ are $2$ on the conjugacy classes $(4)$ and $(2,2)$, $0$ on the conjugacy classes $(3,1)$ and $(1,1,1,1)$, and $-1$ on the conjugacy class $(2,1,1)$. Therefore, the statistic on the partition $(2,2)$ is $2$.
The following 96 statistics, ordered by result quality, also match your data. Click on any of them to see the details.
St000365The number of double ascents of a permutation. St000358The number of occurrences of the pattern 31-2. St001727The number of invisible inversions of a permutation. St001744The number of occurrences of the arrow pattern 1-2 with an arrow from 1 to 2 in a permutation. St000836The number of descents of distance 2 of a permutation. St000732The number of double deficiencies of a permutation. St000771The largest multiplicity of a distance Laplacian eigenvalue in a connected graph. St001199The dominant dimension of $eAe$ for the corresponding Nakayama algebra $A$ with minimal faithful projective-injective module $eA$. St000731The number of double exceedences of a permutation. St000373The number of weak exceedences of a permutation that are also mid-points of a decreasing subsequence of length $3$. St001238The number of simple modules S such that the Auslander-Reiten translate of S is isomorphic to the Nakayama functor applied to the second syzygy of S. St000648The number of 2-excedences of a permutation. St000454The largest eigenvalue of a graph if it is integral. St000668The least common multiple of the parts of the partition. St000708The product of the parts of an integer partition. St000815The number of semistandard Young tableaux of partition weight of given shape. St000933The number of multipartitions of sizes given by an integer partition. St000772The multiplicity of the largest distance Laplacian eigenvalue in a connected graph. St000993The multiplicity of the largest part of an integer partition. St001568The smallest positive integer that does not appear twice in the partition. St001630The global dimension of the incidence algebra of the lattice over the rational numbers. St001878The projective dimension of the simple modules corresponding to the minimum of L in the incidence algebra of the lattice L. St000223The number of nestings in the permutation. St000455The second largest eigenvalue of a graph if it is integral. St000372The number of mid points of increasing subsequences of length 3 in a permutation. St001682The number of distinct positions of the pattern letter 1 in occurrences of 123 in a permutation. St000039The number of crossings of a permutation. St000317The cycle descent number of a permutation. St000837The number of ascents of distance 2 of a permutation. St001082The number of boxed occurrences of 123 in a permutation. St001130The number of two successive successions in a permutation. St001189The number of simple modules with dominant and codominant dimension equal to zero in the Nakayama algebra corresponding to the Dyck path. St001876The number of 2-regular simple modules in the incidence algebra of the lattice. St001060The distinguishing index of a graph. St001877Number of indecomposable injective modules with projective dimension 2. St000260The radius of a connected graph. St000100The number of linear extensions of a poset. St001597The Frobenius rank of a skew partition. St000777The number of distinct eigenvalues of the distance Laplacian of a connected graph. St001645The pebbling number of a connected graph. St000259The diameter of a connected graph. St000302The determinant of the distance matrix of a connected graph. St000466The Gutman (or modified Schultz) index of a connected graph. St000467The hyper-Wiener index of a connected graph. St001330The hat guessing number of a graph. St001964The interval resolution global dimension of a poset. St000439The position of the first down step of a Dyck path. St001603The number of colourings of a polygon such that the multiplicities of a colour are given by a partition. St001605The number of colourings of a cycle such that the multiplicities of colours are given by a partition. St000298The order dimension or Dushnik-Miller dimension of a poset. St000307The number of rowmotion orbits of a poset. St000845The maximal number of elements covered by an element in a poset. St000846The maximal number of elements covering an element of a poset. St001820The size of the image of the pop stack sorting operator. St000632The jump number of the poset. St001192The maximal dimension of $Ext_A^2(S,A)$ for a simple module $S$ over the corresponding Nakayama algebra $A$. St001210Gives the maximal vector space dimension of the first Ext-group between an indecomposable module X and the regular module A, when A is the Nakayama algebra corresponding to the Dyck path. St000649The number of 3-excedences of a permutation. St001233The number of indecomposable 2-dimensional modules with projective dimension one. St001239The largest vector space dimension of the double dual of a simple module in the corresponding Nakayama algebra. St001960The number of descents of a permutation minus one if its first entry is not one. St001198The number of simple modules in the algebra $eAe$ with projective dimension at most 1 in the corresponding Nakayama algebra $A$ with minimal faithful projective-injective module $eA$. St001206The maximal dimension of an indecomposable projective $eAe$-module (that is the height of the corresponding Dyck path) of the corresponding Nakayama algebra with minimal faithful projective-injective module $eA$. St001719The number of shortest chains of small intervals from the bottom to the top in a lattice. St001866The nesting alignments of a signed permutation. St001491The number of indecomposable projective-injective modules in the algebra corresponding to a subset. St001846The number of elements which do not have a complement in the lattice. St001868The number of alignments of type NE of a signed permutation. St000701The protection number of a binary tree. St001862The number of crossings of a signed permutation. St000633The size of the automorphism group of a poset. St000640The rank of the largest boolean interval in a poset. St000910The number of maximal chains of minimal length in a poset. St001105The number of greedy linear extensions of a poset. St001106The number of supergreedy linear extensions of a poset. St001268The size of the largest ordinal summand in the poset. St001399The distinguishing number of a poset. St001779The order of promotion on the set of linear extensions of a poset. St001942The number of loops of the quiver corresponding to the reduced incidence algebra of a poset. St000848The balance constant multiplied with the number of linear extensions of a poset. St000849The number of 1/3-balanced pairs in a poset. St000850The number of 1/2-balanced pairs in a poset. St001397Number of pairs of incomparable elements in a finite poset. St001398Number of subsets of size 3 of elements in a poset that form a "v". St001867The number of alignments of type EN of a signed permutation. St001875The number of simple modules with projective dimension at most 1. St000982The length of the longest constant subword. St001864The number of excedances of a signed permutation. St000264The girth of a graph, which is not a tree. St001431Half of the Loewy length minus one of a modified stable Auslander algebra of the Nakayama algebra corresponding to the Dyck path. St001186Number of simple modules with grade at least 3 in the corresponding Nakayama algebra. St001423The number of distinct cubes in a binary word. St001550The number of inversions between exceedances where the greater exceedance is linked. St001948The number of augmented double ascents of a permutation. St001487The number of inner corners of a skew partition. St001435The number of missing boxes in the first row.