Identifier
Values
=>
Cc0002;cc-rep-0 Cc0002;cc-rep
[1]=>[1]=>0 [2]=>[1,1]=>1 [1,1]=>[2]=>0 [3]=>[1,1,1]=>3 [2,1]=>[2,1]=>1 [1,1,1]=>[3]=>0 [4]=>[1,1,1,1]=>6 [3,1]=>[2,1,1]=>3 [2,2]=>[2,2]=>2 [2,1,1]=>[3,1]=>1 [1,1,1,1]=>[4]=>0 [5]=>[1,1,1,1,1]=>10 [4,1]=>[2,1,1,1]=>6 [3,2]=>[2,2,1]=>4 [3,1,1]=>[3,1,1]=>3 [2,2,1]=>[3,2]=>2 [2,1,1,1]=>[4,1]=>1 [1,1,1,1,1]=>[5]=>0 [6]=>[1,1,1,1,1,1]=>15 [5,1]=>[2,1,1,1,1]=>10 [4,2]=>[2,2,1,1]=>7 [4,1,1]=>[3,1,1,1]=>6 [3,3]=>[2,2,2]=>6 [3,2,1]=>[3,2,1]=>4 [3,1,1,1]=>[4,1,1]=>3 [2,2,2]=>[3,3]=>3 [2,2,1,1]=>[4,2]=>2 [2,1,1,1,1]=>[5,1]=>1 [1,1,1,1,1,1]=>[6]=>0 [7]=>[1,1,1,1,1,1,1]=>21 [6,1]=>[2,1,1,1,1,1]=>15 [5,2]=>[2,2,1,1,1]=>11 [5,1,1]=>[3,1,1,1,1]=>10 [4,3]=>[2,2,2,1]=>9 [4,2,1]=>[3,2,1,1]=>7 [4,1,1,1]=>[4,1,1,1]=>6 [3,3,1]=>[3,2,2]=>6 [3,2,2]=>[3,3,1]=>5 [3,2,1,1]=>[4,2,1]=>4 [3,1,1,1,1]=>[5,1,1]=>3 [2,2,2,1]=>[4,3]=>3 [2,2,1,1,1]=>[5,2]=>2 [2,1,1,1,1,1]=>[6,1]=>1 [1,1,1,1,1,1,1]=>[7]=>0 [8]=>[1,1,1,1,1,1,1,1]=>28 [7,1]=>[2,1,1,1,1,1,1]=>21 [6,2]=>[2,2,1,1,1,1]=>16 [6,1,1]=>[3,1,1,1,1,1]=>15 [5,3]=>[2,2,2,1,1]=>13 [5,2,1]=>[3,2,1,1,1]=>11 [5,1,1,1]=>[4,1,1,1,1]=>10 [4,4]=>[2,2,2,2]=>12 [4,3,1]=>[3,2,2,1]=>9 [4,2,2]=>[3,3,1,1]=>8 [4,2,1,1]=>[4,2,1,1]=>7 [4,1,1,1,1]=>[5,1,1,1]=>6 [3,3,2]=>[3,3,2]=>7 [3,3,1,1]=>[4,2,2]=>6 [3,2,2,1]=>[4,3,1]=>5 [3,2,1,1,1]=>[5,2,1]=>4 [3,1,1,1,1,1]=>[6,1,1]=>3 [2,2,2,2]=>[4,4]=>4 [2,2,2,1,1]=>[5,3]=>3 [2,2,1,1,1,1]=>[6,2]=>2 [2,1,1,1,1,1,1]=>[7,1]=>1 [1,1,1,1,1,1,1,1]=>[8]=>0 [9]=>[1,1,1,1,1,1,1,1,1]=>36 [8,1]=>[2,1,1,1,1,1,1,1]=>28 [7,2]=>[2,2,1,1,1,1,1]=>22 [7,1,1]=>[3,1,1,1,1,1,1]=>21 [6,3]=>[2,2,2,1,1,1]=>18 [6,2,1]=>[3,2,1,1,1,1]=>16 [6,1,1,1]=>[4,1,1,1,1,1]=>15 [5,4]=>[2,2,2,2,1]=>16 [5,3,1]=>[3,2,2,1,1]=>13 [5,2,2]=>[3,3,1,1,1]=>12 [5,2,1,1]=>[4,2,1,1,1]=>11 [5,1,1,1,1]=>[5,1,1,1,1]=>10 [4,4,1]=>[3,2,2,2]=>12 [4,3,2]=>[3,3,2,1]=>10 [4,3,1,1]=>[4,2,2,1]=>9 [4,2,2,1]=>[4,3,1,1]=>8 [4,2,1,1,1]=>[5,2,1,1]=>7 [4,1,1,1,1,1]=>[6,1,1,1]=>6 [3,3,3]=>[3,3,3]=>9 [3,3,2,1]=>[4,3,2]=>7 [3,3,1,1,1]=>[5,2,2]=>6 [3,2,2,2]=>[4,4,1]=>6 [3,2,2,1,1]=>[5,3,1]=>5 [3,2,1,1,1,1]=>[6,2,1]=>4 [3,1,1,1,1,1,1]=>[7,1,1]=>3 [2,2,2,2,1]=>[5,4]=>4 [2,2,2,1,1,1]=>[6,3]=>3 [2,2,1,1,1,1,1]=>[7,2]=>2 [2,1,1,1,1,1,1,1]=>[8,1]=>1 [1,1,1,1,1,1,1,1,1]=>[9]=>0 [10]=>[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]=>45 [9,1]=>[2,1,1,1,1,1,1,1,1]=>36 [8,2]=>[2,2,1,1,1,1,1,1]=>29 [8,1,1]=>[3,1,1,1,1,1,1,1]=>28 [7,3]=>[2,2,2,1,1,1,1]=>24 [7,2,1]=>[3,2,1,1,1,1,1]=>22 [7,1,1,1]=>[4,1,1,1,1,1,1]=>21 [6,4]=>[2,2,2,2,1,1]=>21 [6,3,1]=>[3,2,2,1,1,1]=>18 [6,2,2]=>[3,3,1,1,1,1]=>17 [6,2,1,1]=>[4,2,1,1,1,1]=>16 [6,1,1,1,1]=>[5,1,1,1,1,1]=>15 [5,5]=>[2,2,2,2,2]=>20 [5,4,1]=>[3,2,2,2,1]=>16 [5,3,2]=>[3,3,2,1,1]=>14 [5,3,1,1]=>[4,2,2,1,1]=>13 [5,2,2,1]=>[4,3,1,1,1]=>12 [5,2,1,1,1]=>[5,2,1,1,1]=>11 [5,1,1,1,1,1]=>[6,1,1,1,1]=>10 [4,4,2]=>[3,3,2,2]=>13 [4,4,1,1]=>[4,2,2,2]=>12 [4,3,3]=>[3,3,3,1]=>12 [4,3,2,1]=>[4,3,2,1]=>10 [4,3,1,1,1]=>[5,2,2,1]=>9 [4,2,2,2]=>[4,4,1,1]=>9 [4,2,2,1,1]=>[5,3,1,1]=>8 [4,2,1,1,1,1]=>[6,2,1,1]=>7 [4,1,1,1,1,1,1]=>[7,1,1,1]=>6 [3,3,3,1]=>[4,3,3]=>9 [3,3,2,2]=>[4,4,2]=>8 [3,3,2,1,1]=>[5,3,2]=>7 [3,3,1,1,1,1]=>[6,2,2]=>6 [3,2,2,2,1]=>[5,4,1]=>6 [3,2,2,1,1,1]=>[6,3,1]=>5 [3,2,1,1,1,1,1]=>[7,2,1]=>4 [3,1,1,1,1,1,1,1]=>[8,1,1]=>3 [2,2,2,2,2]=>[5,5]=>5 [2,2,2,2,1,1]=>[6,4]=>4 [2,2,2,1,1,1,1]=>[7,3]=>3 [2,2,1,1,1,1,1,1]=>[8,2]=>2 [2,1,1,1,1,1,1,1,1]=>[9,1]=>1 [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]=>[10]=>0 [6,5]=>[2,2,2,2,2,1]=>25 [5,5,1]=>[3,2,2,2,2]=>20 [5,4,2]=>[3,3,2,2,1]=>17 [5,4,1,1]=>[4,2,2,2,1]=>16 [5,3,3]=>[3,3,3,1,1]=>16 [5,3,2,1]=>[4,3,2,1,1]=>14 [5,3,1,1,1]=>[5,2,2,1,1]=>13 [5,2,2,2]=>[4,4,1,1,1]=>13 [5,2,2,1,1]=>[5,3,1,1,1]=>12 [4,4,3]=>[3,3,3,2]=>15 [4,4,2,1]=>[4,3,2,2]=>13 [4,4,1,1,1]=>[5,2,2,2]=>12 [4,3,3,1]=>[4,3,3,1]=>12 [4,3,2,2]=>[4,4,2,1]=>11 [4,3,2,1,1]=>[5,3,2,1]=>10 [4,2,2,2,1]=>[5,4,1,1]=>9 [3,3,3,2]=>[4,4,3]=>10 [3,3,3,1,1]=>[5,3,3]=>9 [3,3,2,2,1]=>[5,4,2]=>8 [3,2,2,2,2]=>[5,5,1]=>7 [3,2,2,2,1,1]=>[6,4,1]=>6 [2,2,2,2,2,1]=>[6,5]=>5 [2,2,2,2,1,1,1]=>[7,4]=>4 [2,2,2,1,1,1,1,1]=>[8,3]=>3 [6,6]=>[2,2,2,2,2,2]=>30 [6,4,2]=>[3,3,2,2,1,1]=>22 [5,5,2]=>[3,3,2,2,2]=>21 [5,4,3]=>[3,3,3,2,1]=>19 [5,4,2,1]=>[4,3,2,2,1]=>17 [5,4,1,1,1]=>[5,2,2,2,1]=>16 [5,3,3,1]=>[4,3,3,1,1]=>16 [5,3,2,2]=>[4,4,2,1,1]=>15 [5,3,2,1,1]=>[5,3,2,1,1]=>14 [5,2,2,2,1]=>[5,4,1,1,1]=>13 [4,4,4]=>[3,3,3,3]=>18 [4,4,3,1]=>[4,3,3,2]=>15 [4,4,2,2]=>[4,4,2,2]=>14 [4,4,2,1,1]=>[5,3,2,2]=>13 [4,3,3,2]=>[4,4,3,1]=>13 [4,3,3,1,1]=>[5,3,3,1]=>12 [4,3,2,2,1]=>[5,4,2,1]=>11 [3,3,3,3]=>[4,4,4]=>12 [3,3,3,2,1]=>[5,4,3]=>10 [3,3,2,2,2]=>[5,5,2]=>9 [3,3,2,2,1,1]=>[6,4,2]=>8 [3,2,2,2,1,1,1]=>[7,4,1]=>6 [2,2,2,2,2,2]=>[6,6]=>6 [2,2,2,2,2,1,1]=>[7,5]=>5 [5,5,3]=>[3,3,3,2,2]=>23 [5,4,4]=>[3,3,3,3,1]=>22 [5,4,3,1]=>[4,3,3,2,1]=>19 [5,4,2,2]=>[4,4,2,2,1]=>18 [5,4,2,1,1]=>[5,3,2,2,1]=>17 [5,3,3,2]=>[4,4,3,1,1]=>17 [5,3,3,1,1]=>[5,3,3,1,1]=>16 [5,3,2,2,1]=>[5,4,2,1,1]=>15 [4,4,4,1]=>[4,3,3,3]=>18 [4,4,3,2]=>[4,4,3,2]=>16 [4,4,3,1,1]=>[5,3,3,2]=>15 [4,4,2,2,1]=>[5,4,2,2]=>14 [4,3,3,3]=>[4,4,4,1]=>15 [4,3,3,2,1]=>[5,4,3,1]=>13 [3,3,3,3,1]=>[5,4,4]=>12 [3,3,3,2,2]=>[5,5,3]=>11 [3,3,2,2,1,1,1]=>[7,4,2]=>8 [3,2,2,2,2,1,1]=>[7,5,1]=>7 [2,2,2,2,2,1,1,1]=>[8,5]=>5 [5,5,4]=>[3,3,3,3,2]=>26 [5,5,2,1,1]=>[5,3,2,2,2]=>21 [5,4,3,2]=>[4,4,3,2,1]=>20 [5,4,3,1,1]=>[5,3,3,2,1]=>19 [5,4,2,2,1]=>[5,4,2,2,1]=>18 [5,3,3,2,1]=>[5,4,3,1,1]=>17 [4,4,4,2]=>[4,4,3,3]=>19 [4,4,3,3]=>[4,4,4,2]=>18 [4,4,3,2,1]=>[5,4,3,2]=>16 [3,3,3,3,2]=>[5,5,4]=>13 [3,3,3,2,1,1,1]=>[7,4,3]=>10 [3,3,2,2,2,1,1]=>[7,5,2]=>9 [3,2,2,2,2,1,1,1]=>[8,5,1]=>7 [2,2,2,2,2,1,1,1,1]=>[9,5]=>5 [6,5,2,1,1]=>[5,3,2,2,2,1]=>26 [5,5,5]=>[3,3,3,3,3]=>30 [5,4,3,2,1]=>[5,4,3,2,1]=>20 [4,4,4,3]=>[4,4,4,3]=>21 [3,3,3,3,3]=>[5,5,5]=>15 [3,3,3,2,2,1,1]=>[7,5,3]=>11 [3,3,2,2,2,1,1,1]=>[8,5,2]=>9 [3,2,2,2,2,1,1,1,1]=>[9,5,1]=>7 [4,4,4,4]=>[4,4,4,4]=>24 [4,3,3,2,2,1,1]=>[7,5,3,1]=>14 [3,3,3,2,2,1,1,1]=>[8,5,3]=>11 [3,3,3,2,2,2,1,1]=>[8,6,3]=>12 []=>[]=>0 [6,5,4,3,2,1]=>[6,5,4,3,2,1]=>35 [7,6,5,4,3,2,1]=>[7,6,5,4,3,2,1]=>56 [8,7,6,5,4,3,2,1]=>[8,7,6,5,4,3,2,1]=>84 [3,3,3,3,2,2,1,1,1,1]=>[10,6,4]=>14 [4,4,3,3,2,2,1,1]=>[8,6,4,2]=>20 [5,5,4,4,3,3,2,2,1,1]=>[10,8,6,4,2]=>40
search for individual values
searching the database for the individual values of this statistic
/ search for generating function
searching the database for statistics with the same generating function
click to show known generating functions       
Description
The weighted size of a partition.
Let $\lambda = (\lambda_0\geq\lambda_1 \geq \dots\geq\lambda_m)$ be an integer partition. Then the weighted size of $\lambda$ is
$$\sum_{i=0}^m i \cdot \lambda_i.$$
This is also the sum of the leg lengths of the cells in $\lambda$, or
$$ \sum_i \binom{\lambda^{\prime}_i}{2} $$
where $\lambda^{\prime}$ is the conjugate partition of $\lambda$.
This is the minimal number of inversions a permutation with the given shape can have, see [1, cor.2.2].
This is also the smallest possible sum of the entries of a semistandard tableau (allowing 0 as a part) of shape $\lambda=(\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_m)$, obtained uniquely by placing $i-1$ in all the cells of the $i$th row of $\lambda$, see [2, eq.7.103].
Map
conjugate
Description
Return the conjugate partition of the partition.
The conjugate partition of the partition $\lambda$ of $n$ is the partition $\lambda^*$ whose Ferrers diagram is obtained from the diagram of $\lambda$ by interchanging rows with columns.
This is also called the associated partition or the transpose in the literature.