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Your data matches 81 different statistics following compositions of up to 3 maps.
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Mp00127: Permutations left-to-right-maxima to Dyck pathDyck paths
Mp00032: Dyck paths inverse zeta mapDyck paths
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Description
The area of a Dyck path. This is the number of complete squares in the integer lattice which are below the path and above the x-axis. The 'half-squares' directly above the axis do not contribute to this statistic. 1. Dyck paths are bijection with '''area sequences''' $(a_1,\ldots,a_n)$ such that $a_1 = 0, a_{k+1} \leq a_k + 1$. 2. The generating function $\mathbf{D}_n(q) = \sum_{D \in \mathfrak{D}_n} q^{\operatorname{area}(D)}$ satisfy the recurrence $$\mathbf{D}_{n+1}(q) = \sum q^k \mathbf{D}_k(q) \mathbf{D}_{n-k}(q).$$ 3. The area is equidistributed with [[St000005]] and [[St000006]]. Pairs of these statistics play an important role in the theory of $q,t$-Catalan numbers.
Matching statistic: St001161
Mp00127: Permutations left-to-right-maxima to Dyck pathDyck paths
Mp00099: Dyck paths bounce pathDyck paths
St001161: Dyck paths ⟶ ℤResult quality: 100% values known / values provided: 100%distinct values known / distinct values provided: 100%
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Description
The major index north count of a Dyck path. The descent set $\operatorname{des}(D)$ of a Dyck path $D = D_1 \cdots D_{2n}$ with $D_i \in \{N,E\}$ is given by all indices $i$ such that $D_i = E$ and $D_{i+1} = N$. This is, the positions of the valleys of $D$. The '''major index''' of a Dyck path is then the sum of the positions of the valleys, $\sum_{i \in \operatorname{des}(D)} i$, see [[St000027]]. The '''major index north count''' is given by $\sum_{i \in \operatorname{des}(D)} \#\{ j \leq i \mid D_j = N\}$.
Matching statistic: St000008
Mp00127: Permutations left-to-right-maxima to Dyck pathDyck paths
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Mp00100: Dyck paths touch compositionInteger compositions
St000008: Integer compositions ⟶ ℤResult quality: 100% values known / values provided: 100%distinct values known / distinct values provided: 100%
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The major index of the composition. The descents of a composition $[c_1,c_2,\dots,c_k]$ are the partial sums $c_1, c_1+c_2,\dots, c_1+\dots+c_{k-1}$, excluding the sum of all parts. The major index of a composition is the sum of its descents. For details about the major index see [[Permutations/Descents-Major]].
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Description
The major index east count of a Dyck path. The descent set $\operatorname{des}(D)$ of a Dyck path $D = D_1 \cdots D_{2n}$ with $D_i \in \{N,E\}$ is given by all indices $i$ such that $D_i = E$ and $D_{i+1} = N$. This is, the positions of the valleys of $D$. The '''major index''' of a Dyck path is then the sum of the positions of the valleys, $\sum_{i \in \operatorname{des}(D)} i$, see [[St000027]]. The '''major index east count''' is given by $\sum_{i \in \operatorname{des}(D)} \#\{ j \leq i \mid D_j = E\}$.
Matching statistic: St000492
Mp00127: Permutations left-to-right-maxima to Dyck pathDyck paths
Mp00099: Dyck paths bounce pathDyck paths
Mp00138: Dyck paths to noncrossing partitionSet partitions
St000492: Set partitions ⟶ ℤResult quality: 100% values known / values provided: 100%distinct values known / distinct values provided: 100%
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Description
The rob statistic of a set partition. Let $S = B_1,\ldots,B_k$ be a set partition with ordered blocks $B_i$ and with $\operatorname{min} B_a < \operatorname{min} B_b$ for $a < b$. According to [1, Definition 3], a '''rob''' (right-opener-bigger) of $S$ is given by a pair $i < j$ such that $j = \operatorname{min} B_b$ and $i \in B_a$ for $a < b$. This is also the number of occurrences of the pattern {{1}, {2}}, such that 2 is the minimal element of a block.
Matching statistic: St000499
Mp00127: Permutations left-to-right-maxima to Dyck pathDyck paths
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Description
The rcb statistic of a set partition. Let $S = B_1,\ldots,B_k$ be a set partition with ordered blocks $B_i$ and with $\operatorname{min} B_a < \operatorname{min} B_b$ for $a < b$. According to [1, Definition 3], a '''rcb''' (right-closer-bigger) of $S$ is given by a pair $i < j$ such that $j = \operatorname{max} B_b$ and $i \in B_a$ for $a < b$.
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Mp00127: Permutations left-to-right-maxima to Dyck pathDyck paths
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Description
The number of occurrences of the pattern {{1},{2}} such that 2 is a maximal element. This is the number of pairs $i\lt j$ in different blocks such that $j$ is the maximal element of a block.
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Mp00127: Permutations left-to-right-maxima to Dyck pathDyck paths
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St001671: Permutations ⟶ ℤResult quality: 68% values known / values provided: 68%distinct values known / distinct values provided: 91%
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Description
Haglund's hag of a permutation. Let $edif$ be the sum of the differences of exceedence tops and bottoms, let $\pi_E$ the subsequence of exceedence tops and let $\pi_N$ be the subsequence of non-exceedence tops. Finally, let $L$ be the number of pairs of indices $k < i$ such that $\pi_k \leq i < \pi_i$. Then $hag(\pi) = edif + inv(\pi_E) - inv(\pi_N) + L$, where $inv$ denotes the number of inversions of a word.
Matching statistic: St000041
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Mp00032: Dyck paths inverse zeta mapDyck paths
Mp00146: Dyck paths to tunnel matchingPerfect matchings
St000041: Perfect matchings ⟶ ℤResult quality: 63% values known / values provided: 63%distinct values known / distinct values provided: 100%
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Description
The number of nestings of a perfect matching. This is the number of pairs of edges $((a,b), (c,d))$ such that $a\le c\le d\le b$. i.e., the edge $(c,d)$ is nested inside $(a,b)$.
Matching statistic: St001558
Mp00127: Permutations left-to-right-maxima to Dyck pathDyck paths
Mp00032: Dyck paths inverse zeta mapDyck paths
Mp00031: Dyck paths to 312-avoiding permutationPermutations
St001558: Permutations ⟶ ℤResult quality: 57% values known / values provided: 57%distinct values known / distinct values provided: 73%
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Description
The number of transpositions that are smaller or equal to a permutation in Bruhat order. A statistic is known to be '''smooth''' if and only if this number coincides with the number of inversions. This is also equivalent for a permutation to avoid the two pattern $4231$ and $3412$.
The following 71 statistics, ordered by result quality, also match your data. Click on any of them to see the details.
St001232The number of indecomposable modules with projective dimension 2 for Nakayama algebras with global dimension at most 2. St000018The number of inversions of a permutation. St000456The monochromatic index of a connected graph. St001397Number of pairs of incomparable elements in a finite poset. St000246The number of non-inversions of a permutation. St000772The multiplicity of the largest distance Laplacian eigenvalue in a connected graph. St000771The largest multiplicity of a distance Laplacian eigenvalue in a connected graph. St000454The largest eigenvalue of a graph if it is integral. St000566The number of ways to select a row of a Ferrers shape and two cells in this row. St000714The number of semistandard Young tableau of given shape, with entries at most 2. St001498The normalised height of a Nakayama algebra with magnitude 1. St000161The sum of the sizes of the right subtrees of a binary tree. St000796The stat' of a permutation. St000798The makl of a permutation. St000833The comajor index of a permutation. St000567The sum of the products of all pairs of parts. St000260The radius of a connected graph. St001604The multiplicity of the irreducible representation corresponding to a partition in the relabelling action on polygons. St000264The girth of a graph, which is not a tree. St000777The number of distinct eigenvalues of the distance Laplacian of a connected graph. St001876The number of 2-regular simple modules in the incidence algebra of the lattice. St001877Number of indecomposable injective modules with projective dimension 2. St001878The projective dimension of the simple modules corresponding to the minimum of L in the incidence algebra of the lattice L. St000057The Shynar inversion number of a standard tableau. St000067The inversion number of the alternating sign matrix. St000076The rank of the alternating sign matrix in the alternating sign matrix poset. St000133The "bounce" of a permutation. St000005The bounce statistic of a Dyck path. St001295Gives the vector space dimension of the homomorphism space between J^2 and J^2. St000006The dinv of a Dyck path. St000156The Denert index of a permutation. St000305The inverse major index of a permutation. St000512The number of invariant subsets of size 3 when acting with a permutation of given cycle type. St000620The number of standard tableaux of shape equal to the given partition such that the minimal cyclic descent is odd. St000621The number of standard tableaux of shape equal to the given partition such that the minimal cyclic descent is even. St000668The least common multiple of the parts of the partition. St000681The Grundy value of Chomp on Ferrers diagrams. St000698The number of 2-rim hooks removed from an integer partition to obtain its associated 2-core. St000704The number of semistandard tableaux on a given integer partition with minimal maximal entry. St000707The product of the factorials of the parts. St000708The product of the parts of an integer partition. St000770The major index of an integer partition when read from bottom to top. St000815The number of semistandard Young tableaux of partition weight of given shape. St000929The constant term of the character polynomial of an integer partition. St000933The number of multipartitions of sizes given by an integer partition. St000934The 2-degree of an integer partition. St000936The number of even values of the symmetric group character corresponding to the partition. St000937The number of positive values of the symmetric group character corresponding to the partition. St000938The number of zeros of the symmetric group character corresponding to the partition. St000939The number of characters of the symmetric group whose value on the partition is positive. St000940The number of characters of the symmetric group whose value on the partition is zero. St000941The number of characters of the symmetric group whose value on the partition is even. St000993The multiplicity of the largest part of an integer partition. St001123The multiplicity of the dual of the standard representation in the Kronecker square corresponding to a partition. St001124The multiplicity of the standard representation in the Kronecker square corresponding to a partition. St001128The exponens consonantiae of a partition. St001568The smallest positive integer that does not appear twice in the partition. St001603The number of colourings of a polygon such that the multiplicities of a colour are given by a partition. St001629The coefficient of the integer composition in the quasisymmetric expansion of the relabelling action of the symmetric group on cycles. St001630The global dimension of the incidence algebra of the lattice over the rational numbers. St001875The number of simple modules with projective dimension at most 1. St001645The pebbling number of a connected graph. St001632The number of indecomposable injective modules $I$ with $dim Ext^1(I,A)=1$ for the incidence algebra A of a poset. St001879The number of indecomposable summands of the top of the first syzygy of the dual of the regular module in the incidence algebra of the lattice. St001880The number of 2-Gorenstein indecomposable injective modules in the incidence algebra of the lattice. St001570The minimal number of edges to add to make a graph Hamiltonian. St001060The distinguishing index of a graph. St000455The second largest eigenvalue of a graph if it is integral. St000422The energy of a graph, if it is integral. St001491The number of indecomposable projective-injective modules in the algebra corresponding to a subset. St001583The projective dimension of the simple module corresponding to the point in the poset of the symmetric group under bruhat order.