searching the database
Your data matches 43 different statistics following compositions of up to 3 maps.
(click to perform a complete search on your data)
(click to perform a complete search on your data)
Matching statistic: St000568
St000568: Binary trees ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> 1
[[.,.],.]
=> 1
[.,[.,[.,.]]]
=> 1
[.,[[.,.],.]]
=> 2
[[.,.],[.,.]]
=> 1
[[.,[.,.]],.]
=> 2
[[[.,.],.],.]
=> 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> 2
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> 2
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> 2
[.,[[[.,.],.],.]]
=> 2
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> 2
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> 2
[[[.,.],.],[.,.]]
=> 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> 2
[[.,[[.,.],.]],.]
=> 2
[[[.,.],[.,.]],.]
=> 2
[[[.,[.,.]],.],.]
=> 2
[[[[.,.],.],.],.]
=> 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> 2
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> 2
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> 2
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> 2
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> 2
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> 3
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> 2
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> 2
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> 2
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> 3
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> 2
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> 3
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> 2
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> 2
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> 2
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> 2
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> 2
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> 2
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> 3
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> 2
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> 2
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> 2
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> 2
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> 1
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> 2
Description
The hook number of a binary tree.
A hook of a binary tree is a vertex together with is left- and its right-most branch. Then there is a unique decomposition of the tree into hooks and the hook number is the number of hooks in this decomposition.
Matching statistic: St000522
(load all 2 compositions to match this statistic)
(load all 2 compositions to match this statistic)
Mp00010: Binary trees —to ordered tree: left child = left brother⟶ Ordered trees
St000522: Ordered trees ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
St000522: Ordered trees ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> [[[]]]
=> 1
[[.,.],.]
=> [[],[]]
=> 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [[[[]]]]
=> 1
[.,[[.,.],.]]
=> [[[],[]]]
=> 1
[[.,.],[.,.]]
=> [[],[[]]]
=> 2
[[.,[.,.]],.]
=> [[[]],[]]
=> 2
[[[.,.],.],.]
=> [[],[],[]]
=> 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [[[[[]]]]]
=> 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [[[[],[]]]]
=> 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [[[],[[]]]]
=> 2
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [[[[]],[]]]
=> 2
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [[[],[],[]]]
=> 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [[],[[[]]]]
=> 2
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [[],[[],[]]]
=> 2
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [[[]],[[]]]
=> 2
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [[],[],[[]]]
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [[[[]]],[]]
=> 2
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [[[],[]],[]]
=> 2
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [[],[[]],[]]
=> 2
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [[[]],[],[]]
=> 2
[[[[.,.],.],.],.]
=> [[],[],[],[]]
=> 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [[[[[[]]]]]]
=> 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [[[[[],[]]]]]
=> 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [[[[],[[]]]]]
=> 2
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [[[[[]],[]]]]
=> 2
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [[[[],[],[]]]]
=> 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [[[],[[[]]]]]
=> 2
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [[[],[[],[]]]]
=> 2
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [[[[]],[[]]]]
=> 2
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [[[],[],[[]]]]
=> 2
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [[[[[]]],[]]]
=> 2
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [[[[],[]],[]]]
=> 2
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [[[],[[]],[]]]
=> 2
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [[[[]],[],[]]]
=> 2
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [[[],[],[],[]]]
=> 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [[],[[[[]]]]]
=> 2
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [[],[[[],[]]]]
=> 2
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [[],[[],[[]]]]
=> 3
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [[],[[[]],[]]]
=> 3
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [[],[[],[],[]]]
=> 2
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [[[]],[[[]]]]
=> 2
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [[[]],[[],[]]]
=> 2
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [[],[],[[[]]]]
=> 2
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [[],[],[[],[]]]
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [[[[]]],[[]]]
=> 2
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [[[],[]],[[]]]
=> 2
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [[],[[]],[[]]]
=> 3
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [[[]],[],[[]]]
=> 3
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [[],[],[],[[]]]
=> 2
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [[[[[]]]],[]]
=> 2
Description
The number of 1-protected nodes of a rooted tree.
This is the number of nodes with minimal distance one to a leaf.
Matching statistic: St000337
(load all 2 compositions to match this statistic)
(load all 2 compositions to match this statistic)
Mp00014: Binary trees —to 132-avoiding permutation⟶ Permutations
Mp00252: Permutations —restriction⟶ Permutations
Mp00069: Permutations —complement⟶ Permutations
St000337: Permutations ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00252: Permutations —restriction⟶ Permutations
Mp00069: Permutations —complement⟶ Permutations
St000337: Permutations ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [1] => [1] => 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => [1] => [1] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [2,1] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [2,1] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> [3,1,2] => [1,2] => [2,1] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [2,1] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [1,2] => [2,1] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [3,2,1] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [3,2,1] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [4,2,3,1] => [2,3,1] => [2,1,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [3,2,1] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [2,3,1] => [2,1,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [4,3,1,2] => [3,1,2] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [3,4,1,2] => [3,1,2] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [4,2,1,3] => [2,1,3] => [2,3,1] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [4,1,2,3] => [1,2,3] => [3,2,1] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [3,2,1] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [2,3,1] => [2,1,3] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [3,1,2,4] => [3,1,2] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [2,1,3] => [2,3,1] => 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [1,2,3] => [3,2,1] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [4,3,2,1] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [4,3,2,1] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [5,3,4,2,1] => [3,4,2,1] => [2,1,3,4] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [4,3,2,1] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [3,4,2,1] => [2,1,3,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [5,4,2,3,1] => [4,2,3,1] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [4,5,2,3,1] => [4,2,3,1] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [5,3,2,4,1] => [3,2,4,1] => [2,3,1,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [5,2,3,4,1] => [2,3,4,1] => [3,2,1,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [4,3,2,1] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [3,4,2,1] => [2,1,3,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [4,2,3,5,1] => [4,2,3,1] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [3,2,4,1] => [2,3,1,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [2,3,4,1] => [3,2,1,4] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [5,4,3,1,2] => [4,3,1,2] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [4,5,3,1,2] => [4,3,1,2] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [5,3,4,1,2] => [3,4,1,2] => [2,1,4,3] => 2 = 3 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [4,3,5,1,2] => [4,3,1,2] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [3,4,5,1,2] => [3,4,1,2] => [2,1,4,3] => 2 = 3 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [5,4,2,1,3] => [4,2,1,3] => [1,3,4,2] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [4,5,2,1,3] => [4,2,1,3] => [1,3,4,2] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [5,4,1,2,3] => [4,1,2,3] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [4,5,1,2,3] => [4,1,2,3] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [5,3,2,1,4] => [3,2,1,4] => [2,3,4,1] => 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [5,2,3,1,4] => [2,3,1,4] => [3,2,4,1] => 2 = 3 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [5,3,1,2,4] => [3,1,2,4] => [2,4,3,1] => 1 = 2 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [5,2,1,3,4] => [2,1,3,4] => [3,4,2,1] => 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [5,1,2,3,4] => [1,2,3,4] => [4,3,2,1] => 2 = 3 - 1
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => [4,3,2,1] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
Description
The lec statistic, the sum of the inversion numbers of the hook factors of a permutation.
For a permutation $\sigma = p \tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{k}$ in its hook factorization, [1] defines $$ \textrm{lec} \, \sigma = \sum_{1 \leq i \leq k} \textrm{inv} \, \tau_{i} \, ,$$ where $\textrm{inv} \, \tau_{i}$ is the number of inversions of $\tau_{i}$.
Matching statistic: St001928
(load all 8 compositions to match this statistic)
(load all 8 compositions to match this statistic)
Mp00014: Binary trees —to 132-avoiding permutation⟶ Permutations
Mp00064: Permutations —reverse⟶ Permutations
Mp00252: Permutations —restriction⟶ Permutations
St001928: Permutations ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00064: Permutations —reverse⟶ Permutations
Mp00252: Permutations —restriction⟶ Permutations
St001928: Permutations ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [1,2] => [1] => 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => [2,1] => [1] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [1,2,3] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [1,3,2] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> [3,1,2] => [2,1,3] => [2,1] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [3,1,2] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [3,2,1] => [2,1] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [1,2,3,4] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [1,2,4,3] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [4,2,3,1] => [1,3,2,4] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [1,4,2,3] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [1,4,3,2] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [4,3,1,2] => [2,1,3,4] => [2,1,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [3,4,1,2] => [2,1,4,3] => [2,1,3] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [4,2,1,3] => [3,1,2,4] => [3,1,2] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [4,1,2,3] => [3,2,1,4] => [3,2,1] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [4,1,2,3] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [4,1,3,2] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [3,1,2,4] => [4,2,1,3] => [2,1,3] => 1 = 2 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [4,3,1,2] => [3,1,2] => 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [4,3,2,1] => [3,2,1] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [1,2,3,4,5] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [1,2,3,5,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [5,3,4,2,1] => [1,2,4,3,5] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [1,2,5,3,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [1,2,5,4,3] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [5,4,2,3,1] => [1,3,2,4,5] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [4,5,2,3,1] => [1,3,2,5,4] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [5,3,2,4,1] => [1,4,2,3,5] => [1,4,2,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [5,2,3,4,1] => [1,4,3,2,5] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [1,5,2,3,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [1,5,2,4,3] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [4,2,3,5,1] => [1,5,3,2,4] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [1,5,4,2,3] => [1,4,2,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [1,5,4,3,2] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [5,4,3,1,2] => [2,1,3,4,5] => [2,1,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [4,5,3,1,2] => [2,1,3,5,4] => [2,1,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [5,3,4,1,2] => [2,1,4,3,5] => [2,1,4,3] => 2 = 3 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [4,3,5,1,2] => [2,1,5,3,4] => [2,1,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [3,4,5,1,2] => [2,1,5,4,3] => [2,1,4,3] => 2 = 3 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [5,4,2,1,3] => [3,1,2,4,5] => [3,1,2,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [4,5,2,1,3] => [3,1,2,5,4] => [3,1,2,4] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [5,4,1,2,3] => [3,2,1,4,5] => [3,2,1,4] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [4,5,1,2,3] => [3,2,1,5,4] => [3,2,1,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [5,3,2,1,4] => [4,1,2,3,5] => [4,1,2,3] => 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [5,2,3,1,4] => [4,1,3,2,5] => [4,1,3,2] => 2 = 3 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [5,3,1,2,4] => [4,2,1,3,5] => [4,2,1,3] => 1 = 2 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [5,2,1,3,4] => [4,3,1,2,5] => [4,3,1,2] => 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [5,1,2,3,4] => [4,3,2,1,5] => [4,3,2,1] => 2 = 3 - 1
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => [5,1,2,3,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
Description
The number of non-overlapping descents in a permutation.
In other words, any maximal descending subsequence $\pi_i,\pi_{i+1},\dots,\pi_k$ contributes $\lfloor\frac{k-i+1}{2}\rfloor$ to the total count.
Matching statistic: St000786
Mp00017: Binary trees —to 312-avoiding permutation⟶ Permutations
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
Mp00247: Graphs —de-duplicate⟶ Graphs
St000786: Graphs ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
Mp00247: Graphs —de-duplicate⟶ Graphs
St000786: Graphs ⟶ ℤResult quality: 100% ●values known / values provided: 100%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> [2,1] => ([(0,1)],2)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => ([],2)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => ([(0,2),(1,2)],3)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => ([(1,2)],3)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => ([(1,2)],3)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => ([],3)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => ([(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => ([(0,3),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => ([(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => ([(0,3),(1,2)],4)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => ([(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => ([],4)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => ([(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => ([(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => ([(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 3
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 3
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => ([(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => ([(0,1),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => ([(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => ([(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => ([(0,1),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => ([(1,4),(2,3)],5)
=> ([(1,4),(2,3)],5)
=> 3
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => ([(1,4),(2,3)],5)
=> ([(1,4),(2,3)],5)
=> 3
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => ([(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],[.,[.,[.,.]]]]
=> [3,2,1,7,6,5,4] => ([(0,1),(0,2),(1,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2}
[[.,[.,[.,[.,.]]]],[.,[.,.]]]
=> [4,3,2,1,7,6,5] => ([(0,1),(0,2),(1,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2}
Description
The maximal number of occurrences of a colour in a proper colouring of a graph.
To any proper colouring with the minimal number of colours possible we associate the integer partition recording how often each colour is used. This statistic records the largest part occurring in any of these partitions.
For example, the graph on six vertices consisting of a square together with two attached triangles - ([(0,4),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,4),(3,5),(4,5)],6) in the list of values - is three-colourable and admits two colouring schemes, $[2,2,2]$ and $[3,2,1]$. Therefore, the statistic on this graph is $3$.
Matching statistic: St001337
Mp00017: Binary trees —to 312-avoiding permutation⟶ Permutations
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
Mp00247: Graphs —de-duplicate⟶ Graphs
St001337: Graphs ⟶ ℤResult quality: 98% ●values known / values provided: 98%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
Mp00247: Graphs —de-duplicate⟶ Graphs
St001337: Graphs ⟶ ℤResult quality: 98% ●values known / values provided: 98%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> [2,1] => ([(0,1)],2)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => ([],2)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => ([(0,2),(1,2)],3)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => ([(1,2)],3)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => ([(1,2)],3)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => ([],3)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => ([(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => ([(0,3),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => ([(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => ([(0,3),(1,2)],4)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => ([(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => ([],4)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => ([(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => ([(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => ([(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 3
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 3
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => ([(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => ([(0,1),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => ([(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => ([(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => ([(0,1),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => ([(1,4),(2,3)],5)
=> ([(1,4),(2,3)],5)
=> 3
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => ([(1,4),(2,3)],5)
=> ([(1,4),(2,3)],5)
=> 3
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => ([(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]]]
=> [7,6,5,4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]]]
=> [5,7,6,4,3,2,1] => ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]]]
=> [6,5,7,4,3,2,1] => ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]]]
=> [4,7,6,5,3,2,1] => ([(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]]]
=> [5,4,7,6,3,2,1] => ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]]]
=> [6,5,4,7,3,2,1] => ([(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [3,7,6,5,4,2,1] => ([(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]]]
=> [6,5,4,3,7,2,1] => ([(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[[.,.],[.,[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [2,7,6,5,4,3,1] => ([(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]],.]]
=> [6,5,4,3,2,7,1] => ([(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
Description
The upper domination number of a graph.
This is the maximum cardinality of a minimal dominating set of $G$.
The smallest graph with different upper irredundance number and upper domination number has eight vertices. It is obtained from the disjoint union of two copies of $K_4$ by joining three of the four vertices of the first with three of the four vertices of the second. For bipartite graphs the two parameters always coincide [1].
Matching statistic: St001338
Mp00017: Binary trees —to 312-avoiding permutation⟶ Permutations
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
Mp00247: Graphs —de-duplicate⟶ Graphs
St001338: Graphs ⟶ ℤResult quality: 98% ●values known / values provided: 98%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
Mp00247: Graphs —de-duplicate⟶ Graphs
St001338: Graphs ⟶ ℤResult quality: 98% ●values known / values provided: 98%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> [2,1] => ([(0,1)],2)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => ([],2)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => ([(0,2),(1,2)],3)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => ([(1,2)],3)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => ([(1,2)],3)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => ([],3)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => ([(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => ([(0,3),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => ([(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => ([(0,3),(1,2)],4)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => ([(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => ([],4)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => ([(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => ([(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => ([(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 3
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 3
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => ([(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => ([(0,1),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => ([(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => ([(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => ([(0,1),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => ([(1,4),(2,3)],5)
=> ([(1,4),(2,3)],5)
=> 3
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => ([(1,4),(2,3)],5)
=> ([(1,4),(2,3)],5)
=> 3
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => ([(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]]]
=> [7,6,5,4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]]]
=> [5,7,6,4,3,2,1] => ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]]]
=> [6,5,7,4,3,2,1] => ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]]]
=> [4,7,6,5,3,2,1] => ([(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]]]
=> [5,4,7,6,3,2,1] => ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]]]
=> [6,5,4,7,3,2,1] => ([(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [3,7,6,5,4,2,1] => ([(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[.,[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]]]
=> [6,5,4,3,7,2,1] => ([(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[[.,.],[.,[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [2,7,6,5,4,3,1] => ([(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
[.,[[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]],.]]
=> [6,5,4,3,2,7,1] => ([(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
Description
The upper irredundance number of a graph.
A set $S$ of vertices is irredundant, if there is no vertex in $S$, whose closed neighbourhood is contained in the union of the closed neighbourhoods of the other vertices of $S$.
The upper irredundance number is the largest size of a maximal irredundant set.
The smallest graph with different upper irredundance number and upper domination number [[St001337]] has eight vertices. It is obtained from the disjoint union of two copies of $K_4$ by joining three of the four vertices of the first with three of the four vertices of the second. For bipartite graphs the two parameters always coincide [2].
Matching statistic: St000093
Mp00017: Binary trees —to 312-avoiding permutation⟶ Permutations
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
Mp00247: Graphs —de-duplicate⟶ Graphs
St000093: Graphs ⟶ ℤResult quality: 97% ●values known / values provided: 97%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00160: Permutations —graph of inversions⟶ Graphs
Mp00247: Graphs —de-duplicate⟶ Graphs
St000093: Graphs ⟶ ℤResult quality: 97% ●values known / values provided: 97%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> [2,1] => ([(0,1)],2)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => ([],2)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => ([(0,2),(1,2)],3)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => ([(1,2)],3)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => ([(1,2)],3)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => ([],3)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => ([(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => ([(0,3),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => ([(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => ([(0,3),(1,2)],4)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => ([(1,3),(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => ([(2,3)],4)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => ([],4)
=> ([],1)
=> 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => ([(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => ([(0,3),(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2)],3)
=> 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => ([(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(0,4),(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => ([(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => ([(0,4),(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1)],2)
=> 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => ([(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 3
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 3
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => ([(1,4),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => ([(0,1),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => ([(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(2,3)],4)
=> 2
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => ([(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => ([(0,1),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(0,3),(1,2)],4)
=> 2
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => ([(1,4),(2,3)],5)
=> ([(1,4),(2,3)],5)
=> 3
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => ([(1,4),(2,3)],5)
=> ([(1,4),(2,3)],5)
=> 3
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => ([(3,4)],5)
=> ([(1,2)],3)
=> 2
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> ([(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)],5)
=> 2
[[.,[.,.]],[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [2,1,7,6,5,4,3] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,.]],[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [2,1,5,7,6,4,3] => ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,.]],[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [2,1,6,5,7,4,3] => ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,.]],[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,1,4,7,6,5,3] => ([(0,1),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,.]],[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [2,1,5,4,7,6,3] => ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,6),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,6),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,.]],[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [2,1,6,5,4,7,3] => ([(0,1),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,[.,.]]],[.,[.,[.,.]]]]
=> [3,2,1,7,6,5,4] => ([(0,1),(0,2),(1,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,[.,.]]],[[.,.],[.,.]]]
=> [3,2,1,5,7,6,4] => ([(0,6),(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,6),(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,[.,.]]],[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,1,6,5,7,4] => ([(0,6),(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,6),(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,[.,[.,.]]]],[.,[.,.]]]
=> [4,3,2,1,7,6,5] => ([(0,1),(0,2),(1,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(0,2),(1,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[[.,.],[.,.]]],[.,[.,.]]]
=> [2,4,3,1,7,6,5] => ([(0,6),(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,6),(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[[.,[.,.]],.]],[.,[.,.]]]
=> [3,2,4,1,7,6,5] => ([(0,6),(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,6),(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[[.,[.,.]],[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,4,3,7,6,5] => ([(0,3),(1,2),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(1,2),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]],[.,.]]
=> [5,4,3,2,1,7,6] => ([(0,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,[[.,.],[.,.]]]],[.,.]]
=> [3,5,4,2,1,7,6] => ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[.,[[.,[.,.]],.]]],[.,.]]
=> [4,3,5,2,1,7,6] => ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[[.,.],[.,[.,.]]]],[.,.]]
=> [2,5,4,3,1,7,6] => ([(0,1),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[[.,[.,.]],[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,5,4,1,7,6] => ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,6),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,5),(2,6),(3,4),(3,6),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[.,[[.,[.,[.,.]]],.]],[.,.]]
=> [4,3,2,5,1,7,6] => ([(0,1),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,1),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[[.,[.,.]],[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [2,1,5,4,3,7,6] => ([(0,3),(1,2),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(1,2),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
[[[.,[.,[.,.]]],[.,.]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4,7,6] => ([(0,3),(1,2),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ([(0,3),(1,2),(4,5),(4,6),(5,6)],7)
=> ? ∊ {2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3}
Description
The cardinality of a maximal independent set of vertices of a graph.
An independent set of a graph is a set of pairwise non-adjacent vertices. A maximum independent set is an independent set of maximum cardinality. This statistic is also called the independence number or stability number $\alpha(G)$ of $G$.
Matching statistic: St001489
(load all 2 compositions to match this statistic)
(load all 2 compositions to match this statistic)
Mp00017: Binary trees —to 312-avoiding permutation⟶ Permutations
Mp00066: Permutations —inverse⟶ Permutations
Mp00223: Permutations —runsort⟶ Permutations
St001489: Permutations ⟶ ℤResult quality: 74% ●values known / values provided: 74%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00066: Permutations —inverse⟶ Permutations
Mp00223: Permutations —runsort⟶ Permutations
St001489: Permutations ⟶ ℤResult quality: 74% ●values known / values provided: 74%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [2,1] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => [1,2] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [3,2,1] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [3,1,2] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> [1,3,2] => [1,3,2] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [2,1,3] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [1,2,3] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [4,3,2,1] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [4,3,1,2] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [2,4,3,1] => [4,1,3,2] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [4,2,1,3] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [4,1,2,3] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [1,4,3,2] => [1,4,3,2] => [1,4,2,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [1,3,4,2] => [1,4,2,3] => [1,4,2,3] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [2,1,4,3] => [2,1,4,3] => [1,4,2,3] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [1,2,4,3] => [1,2,4,3] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [3,2,1,4] => [1,4,2,3] => 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [3,1,2,4] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [1,3,2,4] => [1,3,2,4] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [2,1,3,4] => [1,3,4,2] => 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [1,2,3,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [5,4,3,2,1] => [1,2,3,4,5] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [5,4,3,1,2] => [1,2,3,4,5] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,5,4,2,1] => [5,4,1,3,2] => [1,3,2,4,5] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [5,4,2,1,3] => [1,3,2,4,5] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [5,4,1,2,3] => [1,2,3,4,5] => 0 = 1 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [2,5,4,3,1] => [5,1,4,3,2] => [1,4,2,3,5] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [2,4,5,3,1] => [5,1,4,2,3] => [1,4,2,3,5] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [3,2,5,4,1] => [5,2,1,4,3] => [1,4,2,3,5] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [2,3,5,4,1] => [5,1,2,4,3] => [1,2,4,3,5] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [5,3,2,1,4] => [1,4,2,3,5] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [5,3,1,2,4] => [1,2,4,3,5] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [2,4,3,5,1] => [5,1,3,2,4] => [1,3,2,4,5] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [5,2,1,3,4] => [1,3,4,2,5] => 1 = 2 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [5,1,2,3,4] => [1,2,3,4,5] => 0 = 1 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [1,5,4,3,2] => [1,5,4,3,2] => [1,5,2,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [1,4,5,3,2] => [1,5,4,2,3] => [1,5,2,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [1,3,5,4,2] => [1,5,2,4,3] => [1,5,2,4,3] => 2 = 3 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [1,4,3,5,2] => [1,5,3,2,4] => [1,5,2,4,3] => 2 = 3 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [1,3,4,5,2] => [1,5,2,3,4] => [1,5,2,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [2,1,5,4,3] => [2,1,5,4,3] => [1,5,2,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [2,1,4,5,3] => [2,1,5,3,4] => [1,5,2,3,4] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [1,2,5,4,3] => [1,2,5,4,3] => [1,2,5,3,4] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [1,2,4,5,3] => [1,2,5,3,4] => [1,2,5,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [3,2,1,5,4] => [3,2,1,5,4] => [1,5,2,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [2,3,1,5,4] => [3,1,2,5,4] => [1,2,5,3,4] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [1,3,2,5,4] => [1,3,2,5,4] => [1,3,2,5,4] => 2 = 3 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [2,1,3,5,4] => [2,1,3,5,4] => [1,3,5,2,4] => 2 = 3 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [1,2,3,5,4] => [1,2,3,5,4] => [1,2,3,5,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => [4,3,2,1,5] => [1,5,2,3,4] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [3,7,6,5,4,2,1] => [7,6,1,5,4,3,2] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,.],[.,[[.,.],.]]]]]
=> [3,6,7,5,4,2,1] => [7,6,1,5,4,2,3] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,.],[[.,.],[.,.]]]]]
=> [3,5,7,6,4,2,1] => [7,6,1,5,2,4,3] => [1,5,2,4,3,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,.],[[.,[.,.]],.]]]]
=> [3,6,5,7,4,2,1] => [7,6,1,5,3,2,4] => [1,5,2,4,3,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,.],[[[.,.],.],.]]]]
=> [3,5,6,7,4,2,1] => [7,6,1,5,2,3,4] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]]]
=> [4,3,7,6,5,2,1] => [7,6,2,1,5,4,3] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],[[.,.],.]]]]
=> [4,3,6,7,5,2,1] => [7,6,2,1,5,3,4] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]]]
=> [5,4,3,7,6,2,1] => [7,6,3,2,1,5,4] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]]]
=> [6,5,4,3,7,2,1] => [7,6,4,3,2,1,5] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[.,[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [2,7,6,5,4,3,1] => [7,1,6,5,4,3,2] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[.,[.,[[.,.],.]]]]]
=> [2,6,7,5,4,3,1] => [7,1,6,5,4,2,3] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[.,[[.,.],[.,.]]]]]
=> [2,5,7,6,4,3,1] => [7,1,6,5,2,4,3] => [1,6,2,4,3,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[.,[[.,[.,.]],.]]]]
=> [2,6,5,7,4,3,1] => [7,1,6,5,3,2,4] => [1,6,2,4,3,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[.,[[[.,.],.],.]]]]
=> [2,5,6,7,4,3,1] => [7,1,6,5,2,3,4] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[.,.],[.,[.,.]]]]]
=> [2,4,7,6,5,3,1] => [7,1,6,2,5,4,3] => [1,6,2,5,3,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[.,.],[[.,.],.]]]]
=> [2,4,6,7,5,3,1] => [7,1,6,2,5,3,4] => [1,6,2,5,3,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[.,[.,.]],[.,.]]]]
=> [2,5,4,7,6,3,1] => [7,1,6,3,2,5,4] => [1,6,2,5,3,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[[.,.],.],[.,.]]]]
=> [2,4,5,7,6,3,1] => [7,1,6,2,3,5,4] => [1,6,2,3,5,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[.,[.,[.,.]]],.]]]
=> [2,6,5,4,7,3,1] => [7,1,6,4,3,2,5] => [1,6,2,5,3,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[.,[[.,.],.]],.]]]
=> [2,5,6,4,7,3,1] => [7,1,6,4,2,3,5] => [1,6,2,3,5,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[[.,.],[.,.]],.]]]
=> [2,4,6,5,7,3,1] => [7,1,6,2,4,3,5] => [1,6,2,4,3,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[[.,[.,.]],.],.]]]
=> [2,5,4,6,7,3,1] => [7,1,6,3,2,4,5] => [1,6,2,4,5,3,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[[[.,.],.],.],.]]]
=> [2,4,5,6,7,3,1] => [7,1,6,2,3,4,5] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,[.,[.,.]]]]]
=> [3,2,7,6,5,4,1] => [7,2,1,6,5,4,3] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,[[.,.],.]]]]
=> [3,2,6,7,5,4,1] => [7,2,1,6,5,3,4] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[[.,.],[.,.]]]]
=> [3,2,5,7,6,4,1] => [7,2,1,6,3,5,4] => [1,6,2,3,5,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[[.,[.,.]],.]]]
=> [3,2,6,5,7,4,1] => [7,2,1,6,4,3,5] => [1,6,2,3,5,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,.]],[[[.,.],.],.]]]
=> [3,2,5,6,7,4,1] => [7,2,1,6,3,4,5] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,7,6,5,1] => [7,3,2,1,6,5,4] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],[[.,.],.]]]
=> [4,3,2,6,7,5,1] => [7,3,2,1,6,4,5] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,[.,.]]]],[.,.]]]
=> [5,4,3,2,7,6,1] => [7,4,3,2,1,6,5] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]],.]]
=> [6,5,4,3,2,7,1] => [7,5,4,3,2,1,6] => [1,6,2,3,4,5,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,.],[.,[.,[.,.]]]],.]]
=> [2,6,5,4,3,7,1] => [7,1,5,4,3,2,6] => [1,5,2,6,3,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,.],[.,[[.,.],.]]],.]]
=> [2,5,6,4,3,7,1] => [7,1,5,4,2,3,6] => [1,5,2,3,6,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,.],[[.,.],[.,.]]],.]]
=> [2,4,6,5,3,7,1] => [7,1,5,2,4,3,6] => [1,5,2,4,3,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,.],[[.,[.,.]],.]],.]]
=> [2,5,4,6,3,7,1] => [7,1,5,3,2,4,6] => [1,5,2,4,6,3,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,.],[[[.,.],.],.]],.]]
=> [2,4,5,6,3,7,1] => [7,1,5,2,3,4,6] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],[.,[.,.]]],.]]
=> [3,2,6,5,4,7,1] => [7,2,1,5,4,3,6] => [1,5,2,3,6,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,.]],[[.,.],.]],.]]
=> [3,2,5,6,4,7,1] => [7,2,1,5,3,4,6] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,[.,.]]],[.,.]],.]]
=> [4,3,2,6,5,7,1] => [7,3,2,1,5,4,6] => [1,5,2,3,4,6,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[[.,[.,[.,[.,.]]]],.],.]]
=> [5,4,3,2,6,7,1] => [7,4,3,2,1,5,6] => [1,5,6,2,3,4,7] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [1,7,6,5,4,3,2] => [1,7,6,5,4,3,2] => [1,7,2,3,4,5,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]]
=> [1,6,7,5,4,3,2] => [1,7,6,5,4,2,3] => [1,7,2,3,4,5,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]]
=> [1,5,7,6,4,3,2] => [1,7,6,5,2,4,3] => [1,7,2,4,3,5,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]]
=> [1,6,5,7,4,3,2] => [1,7,6,5,3,2,4] => [1,7,2,4,3,5,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[.,[.,[[[.,.],.],.]]]]
=> [1,5,6,7,4,3,2] => [1,7,6,5,2,3,4] => [1,7,2,3,4,5,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]]
=> [1,4,7,6,5,3,2] => [1,7,6,2,5,4,3] => [1,7,2,5,3,4,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[.,[[.,.],[[.,.],.]]]]
=> [1,4,6,7,5,3,2] => [1,7,6,2,5,3,4] => [1,7,2,5,3,4,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]]
=> [1,5,4,7,6,3,2] => [1,7,6,3,2,5,4] => [1,7,2,5,3,4,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[[.,.],[.,[[[.,.],.],[.,.]]]]
=> [1,4,5,7,6,3,2] => [1,7,6,2,3,5,4] => [1,7,2,3,5,4,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
Description
The maximum of the number of descents and the number of inverse descents.
This is, the maximum of [[St000021]] and [[St000354]].
Matching statistic: St000994
Mp00014: Binary trees —to 132-avoiding permutation⟶ Permutations
Mp00073: Permutations —major-index to inversion-number bijection⟶ Permutations
Mp00090: Permutations —cycle-as-one-line notation⟶ Permutations
St000994: Permutations ⟶ ℤResult quality: 59% ●values known / values provided: 59%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Mp00073: Permutations —major-index to inversion-number bijection⟶ Permutations
Mp00090: Permutations —cycle-as-one-line notation⟶ Permutations
St000994: Permutations ⟶ ℤResult quality: 59% ●values known / values provided: 59%●distinct values known / distinct values provided: 100%
Values
[.,[.,.]]
=> [2,1] => [2,1] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[[.,.],.]
=> [1,2] => [1,2] => [1,2] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,.]]]
=> [3,2,1] => [3,2,1] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],.]]
=> [2,3,1] => [3,1,2] => [1,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,.]]
=> [3,1,2] => [1,3,2] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,.]],.]
=> [2,1,3] => [2,1,3] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[[[.,.],.],.]
=> [1,2,3] => [1,2,3] => [1,2,3] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,.]]]]
=> [4,3,2,1] => [4,3,2,1] => [1,4,2,3] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[.,.],.]]]
=> [3,4,2,1] => [4,3,1,2] => [1,4,2,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,.]]]
=> [4,2,3,1] => [4,1,3,2] => [1,4,2,3] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],.]]
=> [3,2,4,1] => [4,2,1,3] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],.],.]]
=> [2,3,4,1] => [4,1,2,3] => [1,4,3,2] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[.,.]]]
=> [4,3,1,2] => [1,4,3,2] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],.]]
=> [3,4,1,2] => [1,4,2,3] => [1,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[.,.]]
=> [4,2,1,3] => [3,1,4,2] => [1,3,4,2] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[.,.]]
=> [4,1,2,3] => [1,2,4,3] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,[.,.]]],.]
=> [3,2,1,4] => [3,2,1,4] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[[.,.],.]],.]
=> [2,3,1,4] => [3,1,2,4] => [1,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],[.,.]],.]
=> [3,1,2,4] => [1,3,2,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[[[.,[.,.]],.],.]
=> [2,1,3,4] => [2,1,3,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[[[[.,.],.],.],.]
=> [1,2,3,4] => [1,2,3,4] => [1,2,3,4] => 0 = 1 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]
=> [5,4,3,2,1] => [5,4,3,2,1] => [1,5,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]
=> [4,5,3,2,1] => [5,4,3,1,2] => [1,5,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]
=> [5,3,4,2,1] => [5,4,1,3,2] => [1,5,2,4,3] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]
=> [4,3,5,2,1] => [5,4,2,1,3] => [1,5,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[[[.,.],.],.]]]
=> [3,4,5,2,1] => [5,4,1,2,3] => [1,5,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]
=> [5,4,2,3,1] => [5,1,4,3,2] => [1,5,2,3,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,.],[[.,.],.]]]
=> [4,5,2,3,1] => [5,1,4,2,3] => [1,5,3,4,2] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]
=> [5,3,2,4,1] => [5,3,1,4,2] => [1,5,2,3,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[[.,.],.],[.,.]]]
=> [5,2,3,4,1] => [5,1,2,4,3] => [1,5,3,2,4] => 1 = 2 - 1
[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]
=> [4,3,2,5,1] => [5,3,2,1,4] => [1,5,4,2,3] => 2 = 3 - 1
[.,[[.,[[.,.],.]],.]]
=> [3,4,2,5,1] => [5,3,1,2,4] => [1,5,4,2,3] => 2 = 3 - 1
[.,[[[.,.],[.,.]],.]]
=> [4,2,3,5,1] => [5,1,3,2,4] => [1,5,4,2,3] => 2 = 3 - 1
[.,[[[.,[.,.]],.],.]]
=> [3,2,4,5,1] => [5,2,1,3,4] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[.,[[[[.,.],.],.],.]]
=> [2,3,4,5,1] => [5,1,2,3,4] => [1,5,4,3,2] => 2 = 3 - 1
[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]
=> [5,4,3,1,2] => [1,5,4,3,2] => [1,2,5,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[.,[[.,.],.]]]
=> [4,5,3,1,2] => [1,5,4,2,3] => [1,2,5,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,.],[.,.]]]
=> [5,3,4,1,2] => [1,5,2,4,3] => [1,2,5,3,4] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[.,[.,.]],.]]
=> [4,3,5,1,2] => [1,5,3,2,4] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,.],[[[.,.],.],.]]
=> [3,4,5,1,2] => [1,5,2,3,4] => [1,2,5,4,3] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]
=> [5,4,2,1,3] => [4,1,5,3,2] => [1,4,3,5,2] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,.]],[[.,.],.]]
=> [4,5,2,1,3] => [4,1,5,2,3] => [1,4,2,3,5] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[.,[.,.]]]
=> [5,4,1,2,3] => [1,2,5,4,3] => [1,2,3,5,4] => 1 = 2 - 1
[[[.,.],.],[[.,.],.]]
=> [4,5,1,2,3] => [1,2,5,3,4] => [1,2,3,5,4] => 1 = 2 - 1
[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]
=> [5,3,2,1,4] => [4,3,1,5,2] => [1,4,5,2,3] => 2 = 3 - 1
[[.,[[.,.],.]],[.,.]]
=> [5,2,3,1,4] => [4,1,2,5,3] => [1,4,5,3,2] => 2 = 3 - 1
[[[.,.],[.,.]],[.,.]]
=> [5,3,1,2,4] => [1,4,2,5,3] => [1,2,4,5,3] => 1 = 2 - 1
[[[.,[.,.]],.],[.,.]]
=> [5,2,1,3,4] => [3,1,2,5,4] => [1,3,2,4,5] => 1 = 2 - 1
[[[[.,.],.],.],[.,.]]
=> [5,1,2,3,4] => [1,2,3,5,4] => [1,2,3,4,5] => 0 = 1 - 1
[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]
=> [4,3,2,1,5] => [4,3,2,1,5] => [1,4,2,3,5] => 1 = 2 - 1
[.,[.,[.,[.,[.,[.,[.,.]]]]]]]
=> [7,6,5,4,3,2,1] => [7,6,5,4,3,2,1] => [1,7,2,6,3,5,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[.,[.,[[.,.],.]]]]]]
=> [6,7,5,4,3,2,1] => [7,6,5,4,3,1,2] => [1,7,2,6,3,5,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[.,[[.,.],[.,.]]]]]]
=> [7,5,6,4,3,2,1] => [7,6,5,4,1,3,2] => [1,7,2,6,3,5,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[.,[[.,[.,.]],.]]]]]
=> [6,5,7,4,3,2,1] => [7,6,5,4,2,1,3] => [1,7,3,5,2,6,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[.,[[[.,.],.],.]]]]]
=> [5,6,7,4,3,2,1] => [7,6,5,4,1,2,3] => [1,7,3,5,2,6,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[.,.],[.,[.,.]]]]]]
=> [7,6,4,5,3,2,1] => [7,6,5,1,4,3,2] => [1,7,2,6,3,5,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[.,.],[[.,.],.]]]]]
=> [6,7,4,5,3,2,1] => [7,6,5,1,4,2,3] => [1,7,3,5,4,2,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[.,[.,.]],[.,.]]]]]
=> [7,5,4,6,3,2,1] => [7,6,5,3,1,4,2] => [1,7,2,6,4,3,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[[.,.],.],[.,.]]]]]
=> [7,4,5,6,3,2,1] => [7,6,5,1,2,4,3] => [1,7,3,5,2,6,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],.]]]]
=> [6,5,4,7,3,2,1] => [7,6,5,3,2,1,4] => [1,7,4,3,5,2,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[.,[[.,.],.]],.]]]]
=> [5,6,4,7,3,2,1] => [7,6,5,3,1,2,4] => [1,7,4,3,5,2,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[[.,.],[.,.]],.]]]]
=> [6,4,5,7,3,2,1] => [7,6,5,1,3,2,4] => [1,7,4,2,6,3,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[[.,[.,.]],.],.]]]]
=> [5,4,6,7,3,2,1] => [7,6,5,2,1,3,4] => [1,7,4,2,6,3,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[.,[[[[.,.],.],.],.]]]]
=> [4,5,6,7,3,2,1] => [7,6,5,1,2,3,4] => [1,7,4,2,6,3,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,.],[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [7,6,5,3,4,2,1] => [7,6,1,5,4,3,2] => [1,7,2,6,3,4,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,.],[.,[[.,.],.]]]]]
=> [6,7,5,3,4,2,1] => [7,6,1,5,4,2,3] => [1,7,3,2,6,4,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,.],[[.,.],[.,.]]]]]
=> [7,5,6,3,4,2,1] => [7,6,1,5,2,4,3] => [1,7,3,2,6,4,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,.],[[.,[.,.]],.]]]]
=> [6,5,7,3,4,2,1] => [7,6,1,5,3,2,4] => [1,7,4,5,3,2,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,.],[[[.,.],.],.]]]]
=> [5,6,7,3,4,2,1] => [7,6,1,5,2,3,4] => [1,7,4,5,2,6,3] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],[.,[.,.]]]]]
=> [7,6,4,3,5,2,1] => [7,6,4,1,5,3,2] => [1,7,2,6,3,4,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,.]],[[.,.],.]]]]
=> [6,7,4,3,5,2,1] => [7,6,4,1,5,2,3] => [1,7,3,4,2,6,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,.],.],[.,[.,.]]]]]
=> [7,6,3,4,5,2,1] => [7,6,1,2,5,4,3] => [1,7,3,2,6,4,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,.],.],[[.,.],.]]]]
=> [6,7,3,4,5,2,1] => [7,6,1,2,5,3,4] => [1,7,4,2,6,3,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,[.,.]]],[.,.]]]]
=> [7,5,4,3,6,2,1] => [7,6,4,3,1,5,2] => [1,7,2,6,5,3,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[[.,.],.]],[.,.]]]]
=> [7,4,5,3,6,2,1] => [7,6,4,1,2,5,3] => [1,7,3,4,2,6,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,.],[.,.]],[.,.]]]]
=> [7,5,3,4,6,2,1] => [7,6,1,4,2,5,3] => [1,7,3,2,6,5,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[.,.]],.],[.,.]]]]
=> [7,4,3,5,6,2,1] => [7,6,3,1,2,5,4] => [1,7,4,2,6,5,3] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[[.,.],.],.],[.,.]]]]
=> [7,3,4,5,6,2,1] => [7,6,1,2,3,5,4] => [1,7,4,2,6,5,3] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,[.,[.,.]]]],.]]]
=> [6,5,4,3,7,2,1] => [7,6,4,3,2,1,5] => [1,7,5,2,6,3,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[.,[[.,.],.]]],.]]]
=> [5,6,4,3,7,2,1] => [7,6,4,3,1,2,5] => [1,7,5,2,6,3,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[[.,.],[.,.]]],.]]]
=> [6,4,5,3,7,2,1] => [7,6,4,1,3,2,5] => [1,7,5,3,4,2,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[[.,[.,.]],.]],.]]]
=> [5,4,6,3,7,2,1] => [7,6,4,2,1,3,5] => [1,7,5,2,6,3,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[.,[[[.,.],.],.]],.]]]
=> [4,5,6,3,7,2,1] => [7,6,4,1,2,3,5] => [1,7,5,2,6,3,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,.],[.,[.,.]]],.]]]
=> [6,5,3,4,7,2,1] => [7,6,1,4,3,2,5] => [1,7,5,3,2,6,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,.],[[.,.],.]],.]]]
=> [5,6,3,4,7,2,1] => [7,6,1,4,2,3,5] => [1,7,5,2,6,3,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[.,.]],[.,.]],.]]]
=> [6,4,3,5,7,2,1] => [7,6,3,1,4,2,5] => [1,7,5,4,2,6,3] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[[.,.],.],[.,.]],.]]]
=> [6,3,4,5,7,2,1] => [7,6,1,2,4,3,5] => [1,7,5,4,2,6,3] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[.,[.,.]]],.],.]]]
=> [5,4,3,6,7,2,1] => [7,6,3,2,1,4,5] => [1,7,5,2,6,4,3] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[.,[[.,.],.]],.],.]]]
=> [4,5,3,6,7,2,1] => [7,6,3,1,2,4,5] => [1,7,5,2,6,4,3] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[[.,.],[.,.]],.],.]]]
=> [5,3,4,6,7,2,1] => [7,6,1,3,2,4,5] => [1,7,5,2,6,4,3] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[[.,[.,.]],.],.],.]]]
=> [4,3,5,6,7,2,1] => [7,6,2,1,3,4,5] => [1,7,5,3,2,6,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[.,[[[[[.,.],.],.],.],.]]]
=> [3,4,5,6,7,2,1] => [7,6,1,2,3,4,5] => [1,7,5,3,2,6,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[.,[.,[.,[.,.]]]]]]
=> [7,6,5,4,2,3,1] => [7,1,6,5,4,3,2] => [1,7,2,3,6,4,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[.,[.,[[.,.],.]]]]]
=> [6,7,5,4,2,3,1] => [7,1,6,5,4,2,3] => [1,7,3,6,2,4,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[.,[[.,.],[.,.]]]]]
=> [7,5,6,4,2,3,1] => [7,1,6,5,2,4,3] => [1,7,3,6,4,5,2] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[.,[[[.,.],.],.]]]]
=> [5,6,7,4,2,3,1] => [7,1,6,5,2,3,4] => [1,7,4,5,2,3,6] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[.,.],[.,[.,.]]]]]
=> [7,6,4,5,2,3,1] => [7,1,6,2,5,4,3] => [1,7,3,6,4,2,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[.,.],[[.,.],.]]]]
=> [6,7,4,5,2,3,1] => [7,1,6,2,5,3,4] => [1,7,4,2,3,6,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[.,[.,.]],[.,.]]]]
=> [7,5,4,6,2,3,1] => [7,1,6,4,2,5,3] => [1,7,3,6,5,2,4] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
[.,[[.,.],[[[.,.],.],[.,.]]]]
=> [7,4,5,6,2,3,1] => [7,1,6,2,3,5,4] => [1,7,4,2,3,6,5] => ? ∊ {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4} - 1
Description
The number of cycle peaks and the number of cycle valleys of a permutation.
A '''cycle peak''' of a permutation $\pi$ is an index $i$ such that $\pi^{-1}(i) < i > \pi(i)$. Analogously, a '''cycle valley''' is an index $i$ such that $\pi^{-1}(i) > i < \pi(i)$.
Clearly, every cycle of $\pi$ contains as many peaks as valleys.
The following 33 statistics, ordered by result quality, also match your data. Click on any of them to see the details.
St000480The number of lower covers of a partition in dominance order. St000264The girth of a graph, which is not a tree. St000035The number of left outer peaks of a permutation. St000353The number of inner valleys of a permutation. St000259The diameter of a connected graph. St000260The radius of a connected graph. St000711The number of big exceedences of a permutation. St000092The number of outer peaks of a permutation. St000099The number of valleys of a permutation, including the boundary. St000023The number of inner peaks of a permutation. St000985The number of positive eigenvalues of the adjacency matrix of the graph. St000454The largest eigenvalue of a graph if it is integral. St001060The distinguishing index of a graph. St000845The maximal number of elements covered by an element in a poset. St000846The maximal number of elements covering an element of a poset. St001330The hat guessing number of a graph. St000660The number of rises of length at least 3 of a Dyck path. St001470The cyclic holeyness of a permutation. St001960The number of descents of a permutation minus one if its first entry is not one. St001582The grades of the simple modules corresponding to the points in the poset of the symmetric group under the Bruhat order. St001597The Frobenius rank of a skew partition. St001198The number of simple modules in the algebra $eAe$ with projective dimension at most 1 in the corresponding Nakayama algebra $A$ with minimal faithful projective-injective module $eA$. St001206The maximal dimension of an indecomposable projective $eAe$-module (that is the height of the corresponding Dyck path) of the corresponding Nakayama algebra with minimal faithful projective-injective module $eA$. St000455The second largest eigenvalue of a graph if it is integral. St000409The number of pitchforks in a binary tree. St000628The balance of a binary word. St001044The number of pairs whose larger element is at most one more than half the size of the perfect matching. St001553The number of indecomposable summands of the square of the Jacobson radical as a bimodule in the Nakayama algebra corresponding to the Dyck path. St001569The maximal modular displacement of a permutation. St000758The length of the longest staircase fitting into an integer composition. St001200The number of simple modules in $eAe$ with projective dimension at most 2 in the corresponding Nakayama algebra $A$ with minimal faithful projective-injective module $eA$. St001423The number of distinct cubes in a binary word. St001823The Stasinski-Voll length of a signed permutation.
Sorry, this statistic was not found in the database
or
add this statistic to the database – it's very simple and we need your support!